3.6. Мультиколлинеарность.

Если некоторые или все независимые переменные в множест­венной регрессии являются высоко коррелированными, то рег­рессионной модели трудно разграничить их отдельные объяс­няющие воздействия на Y. В результате высококоррелирован­ные независимые переменные действуют в одном направле­нии и имеют недостаточно независимое колебание, чтобы дать возможность модели изолировать влияние каждой пере­менной. Не существует точного граничного значения уровня корреляции переменных, при котором возникает проблема мультиколлинеарности, таким образом, необходимо собствен­ное суждение.

Мультиколлинеарность особенно часто имеет место при ана­лизе фондовых переменных, таких, как доходность и объемы продаж, когда инфляция, например, может повлиять на оба временных ряда.

При мультиколлинеарности коэффициенты регрессии неста­бильны как в отношении статистической значимости, так и по величине и знаку. Следовательно, они ненадежны. Значения ко­эффициентов R² могут быть высокими, но стандартные ошибки тоже высоки, и отсюда t-критерии малы, отражая недостаток значимости.

В отношении мультиколлинеарности может быть принято несколько мер:

1. Увеличивают объем выборки по принципу, что больше данных означает меньшие дисперсии оценок МНК. Проблема реализации этого варианта решения состоит в трудности на­ хождения дополнительных данных.

2. Исключают те переменные, которые высококоррелированны с остальными. Проблема здесь заключается в том, что возможно переменные были включены на теоретической основе, и будет неправомочным их исключение только лишь для то­ го, чтобы сделать статистические результаты "лучше".

3.7. Фиктивные переменные.

Иногда необходимо включение в регрессионную модель одной или более качественных переменных, например, степени качества управления инвестиционным портфелем. Альтернативно может понадобиться сде­лать качественное различие между наблюдениями одних и тех же данных. Например, если проверяется взаимосвязь между разме­ром компании и ежемесячными доходами по акциям, может быть желательным включение качественной переменной, представ­ляющей месяц январь, по причине хорошо известного "январского эффекта" во временных рядах доходов по ценным бумагам. Данный "январский эффект" - это феномен, заключающийся в том, что средние доходы по акциям, особенно небольших компаний, в среднем выше в январе, чем в другие месяцы. Таким образом, если мы рассматриваем январские на­блюдения как качественно отличные от других наблюдений, фиктивная переменная позволит произвести подобное качественное различие. Фиктивные переменные используются также для отражения действия качественных эффектов изменений политики правительства на анализируемые данные.

3.8. Нелинейная регрессия.

До сих пор обсуждение было сфокусировано на линейной рег­рессии. Однако может случиться так, что взаимосвязь между за­висимой переменной и одной или более независимыми пере­менными будет нелинейной. Существуют два пути решения этой проблемы:

1. преобразовать данные и применить линейную регрессию;

2. применить методы нелинейной регрессии.

а) б) в)

Рис. 3.2. Различные виды нелинейных регрессий.

Методы нелинейной регрессии выходят за рамки нашего курса, так что далее остановимся на преобразовании данных. Графики на рис. 3.2 показывают разнообразные взаимосвязи между Y и X, не являющиеся линейными. Однако при соответст­вующем преобразовании Y, и X взаимосвязь между Y и X мо­жет быть трансформирована в линейную для и . Таким обра­зом, далее можно использовать МНК.

Рассмотрим три нелинейные формы, отображенные на рис. 3.2. На верхних графике (а) функциональной формой является , где 0 < < 1; (б) , где > 1; (в) при любом . Преобразование в этих случаях за­ключается во взятии натурального логарифма от левой и правой частях этих уравнений. По­лучающееся уравнение регрессии будет выглядеть так:

Преобразование для графика (в) очень простое, если учесть, что 1/Х может участвовать в расчете как независи­мая переменная.

При всех этих преобразованиях необходимо конвертировать результат в нелинейную форму для его правильного истолкова­ния.

3.9. Применение регрессионного анализа в хеджировании.

Цель хеджирования состоит в устранении риска для портфеля ак­тивов. Хеджирование длинной позиции (на покупку) по активу, имеющему риск, достигается занятием короткой позиции (на про­дажу) в некоторой пропорции от стоимости портфеля по другому, но высококоррелированному рискованному активу. Для иллюст­рации этого рассмотрим портфель, имеющий длинную позицию по активу А, которую желательно захеджировать путем занятия короткой позиции по фьючерсному контракту на актив А. До установки хеджа необходимо ответить на два вопроса:

1. По какому инструменту занять короткую позицию?

2. Какую пропорцию от стоимости длинной позиции должна представлять короткая позиция, чтобы минимизировать дис­персию всего портфеля?

На первый вопрос легко ответить, рассмотрев коэффициент корреляции изменений цены длинной позиции и потенциальных кандидатур для короткой позиции. Следует выбрать канди­датуру с наивысшей корреляцией с длинной позицией. В данном примере мы допускаем, что это фьючерсный контракт.

Что касается второго вопроса, пропорция короткой позиции называется коэффициентом хеджирования. Для нахождения этих коэффициентов часто используется МНК регрессия.

Чтобы понять это, рассмотрим снова длинную позицию по облигации с доходом по ней . Определено, что высококорре­лированным инструментом является фьючерс на облигации. До­ход по фьючерсу выражается в виде .

Доходы по захеджированному портфелю, т.е. состоящему из длинной позиции по одной единице облигации и короткой по соответствующей величине h фьючерсного контракта, определя­ются так:

(3.10).

Дисперсия доходов этого портфеля определяется следующим образом:

(3.11).

Для нахождения коэффициента хеджирования h, который минимизирует дисперсию захеджированного портфеля, следует продифференцировать выражение (3.11) по h и приравнять про­изводную к нулю:

В таком случае h равно

(3.12),

т.е. h признается аналогичным - наклону линии регрессии относительно оси абсцисс. Таким образом, коэффициент наклона численно пропорционален коэффициенту хеджирования.