Тема 7. Математичні методи теорії ігор з «природою»

7.1. Коротке теоретичне викладення

У разі, коли між сторонами (учасниками) відсутній "антагонізм" (наприклад, в процесі роботи підприємства і торговельних посередників), такі ситуації називають "іграми з природою".

Ризик r_ij при користуванні стратегією С_i і стану «природи» Пj оцінюється різницею між максимально можливим виграшем при даному стані природи В_іmax виграшем В_ij при вибраній стратегії С_i:

r_ij = В_іmax – В_ij

Виходячи з цього визначення, можна оцінювати максимальний ризик кожного рішення:

r_ijmax = max rij

Рішення можуть прийматися за результатами аналізу ряду критеріїв.

Критерій, заснований на відомих ймовірних станах «природи» (наприклад, попиту, за даними аналізу за попередні роки):

• якщо відомі ймовірності станів «природи» Рі = Р(Пі). тоді в ролі показника ефективності (раціональності, обгрунтованості) стратегії Сі, береться середнє (математичне очікування) – виграш застосування цієї стратегії:

.

а оптимальною вважають стратегію, для якої цей показник ефективності має максимальне значення, тобто:

.

• якщо кожному рішенню С_і відповідає багато можливих результатів B_ij з ймовірностями Р_ij, а середнє значення виграшу визначиться за формулою, то в цьому випадку можна використані стратегію мінімального ризику для кожного і-го стану «природи»:

Максимальний критерій Вальда. Тут вибирається рішення (в нашому випадку торгового підприємства), при якому гарантується максимальний виграш в найгірших умовах зовнішнього середовища (стану «природи»):

Критерій песимізму Гурвича (Гурвіца). Тут вибирається деякий компромісний варіант між двома крайностями з урахуванням як найгіршої, так і найкращої поведінки «природи». При цьому для кожного рішення буде лінійна комбінація мінімального і максимального виграшів і вибирається той, для якого ця величина виявиться найбільшою:

де х показник «песимізму — оптимізму» (частіше всього приймається рівним величині 0,5).

Критерій максимального ризику Севіджа. Тут пропонується застосовувати мінімаксний критерій не до початкової платіжної матриці, а до нової матриці, яку багато хто (але не сам Севідж) називає матрицею "жалкування". Елементи матриці "жалкування" виходять з елементів платіжної матриці максимального елемента того ж стовпця. В цьому випадку вибирають ту стратегію, при якій величина ризику має мінімальне значення в самій несприятливій ситуації, щоб уникнути дуже великого ризику при виборі рішення.

.

Отже ми розглянули чотири підходи з вибором відповідних критеріїв, результати рішення за якими, звичайно будуть різними.

З цієї проблеми є два виходи. Перший — розробка критеріїв чи вимог, для вибору критерію рішення. Другий — використання будь- яких можливих уривків інформації про ймовірності появи різних станів природи чи проведення експериментів для одержання оцінок цих можливостей. Однак висновок найбільших спеціалістів у цій галузі невтішний: «Не існує критерію рішення, щоб не використовував ймовірних оцінок для стану природи і разом з тим щоб задовольняв відповідні «розумні» вимоги до «хорошого критерію». Тому використання знань індивіда про ймовірності стану «природи» чи отримання нових знань шляхом зксперименту буде кращим виходом.