Тема 6. Сутність теорії ігор і її завдання

6.1. Коротке теоретичне викладення

Досить часто рішення приходиться приймати в умовах невизначеності, тобто в таких умовах, коли процес виконання операції невизначений, чи нам свідомо протидіє супротивник, чи немає ясних і чітких цілей (завдань) операції. Наслідком невизначеності є те, що успіх операції залежить не тільки від наших рішень, але й від чиїхось рішень чи дій.

У цілій низці завдань приходиться аналізувати ситуації, в яких зіштовхуються якісь протиборствуючі сторони (дві або більше), кожна з яких переслідує свою мету, причому результат будь-якого заходу кожної із сторін залежить від того, яких заходів вживе супротивник. Такі ситуації називають конфліктними, вивченням яких і займається теорія ігор.

Теорію ігор можна визначити як теорію математичних моделей прийняття рішень в умовах конфлікту. Серед завдань, що вимагають застосування теорії ігор, можна назвати:

• аналіз конфліктних ситуацій у військових і економічних галузях (простим економічним прикладом конфліктної ситуації, для описання якої використовується теорія ігор, є конкурентна боротьба торговельних фірм чи промислових підприємств);

• обмінні і торговельні операції;

• взаємовідносини між постачальником і споживачем;

• взаємовідносини між покупцем і продавцем;

• взаємовідносини між банком і клієнтом;

• аналіз і проектування ієрархічних структур управління і економічних механізмів (наприклад, аналіз різних моделей стимулювання);

• аналіз доцільності права першого ходу, взаємної інформованості, можливості блефувати;

• аналіз коаліційної поведінки;

• багато інших завдань.

В наведених прикладах в їх основу покладено конфліктну ситуацію, яка породжена відмінністю інтересів супротивників чи партнерів і прагненням кожного з них здобути переваг, досягаючи оптимального рішення. Кожному учаснику такого суперництва приходиться рахуватися не тільки з власними цілями, але й з інтересами партнера.

Мета гри - виграш одного з партнерів з врахуванням відповідних дій партнера (суперника чи супротивника).

Теорія ігор розрахована для рішень в іграх, в які грають тільки один раз. Якщо іра повторюється, то необхідно використати статистичні методи. В одиничній, неповторній грі теорія ігор або дас змогу вибирати одне визначене рішення найкраще з багатьох можливих рішень, або одержати характеристики того випадкового механізму, за допомогою якого один раз вибирається якесь одне з можливих рішень.

Система умов, що регламентує можливі варіанти дій сторін, обсяг інформації кожної сторони про поведінку іншої, а також результат, до якого приводить ця сукупність дій, становлять правша гри.

Кожний гравець має багато можливих ходів. Вибрати один з них - зробити хід. Послідовність ходів, що приводять фу до кінцевого стану, називається партією.

Сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій під час кожного ходу залежно від обстановки, що склалася, називається стратегією.

Результатом гри є виграш чи програш однієї зі сторін, як правило, виражений в кількісній формі. Наприклад, математичне очікування доходу чи прибутку.

Оптимальною стратегією буде така, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даній стороні максимально можливий середній виграш.

Ігри, в яких одна сторона програє стільки, скільки виїрає інша, називаються іграми з нульовою сумою. Тут розглядатимуться тільки парні ігри з нульовою сумою.

В загальному вигляді постановка завдання теорії ігор подається в такий спосіб. Нехай маємо деяку операцію (цілеспрямована дія), в якій беруть участь дві сторони А і В з протилежними інтересами: наявні правила гри, що регламентують результати, до яких приводять можливі варіанти дій сторін; результати дій сторін (виграші) виражені в кількісній формі і зазначені а (математичне очікування виграшу сторони А, що зробила свій і-й хід приу-му ході сторони В).

Умови гри переважно записуються у формі платіжної матриці чи матриці гри:

Матриця гри

	B1	B2	…	Bn
А1	а11	а12	…	а1n
А2	а21	а22	…	А2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

В даній грі сторона А (ми) має m стратегій, а сторона В (супротивник) — n стратегій (гра m х n).

Необхідно знайти найкращі (оптимальні) стратегії сторін, а також очікуваний середній виграш (результат).

При вирішенні гри зустрічаються наступні поняття:

α= max αі = maxmin αij — максимін чи нижня ціна гри;

β = тіп β і = minmax βij — мінімакс чи верхня ціна гри.

Одержання максиміну і мінімаксу ясно з розгляду матриці гри.

В тих випадках, коли α = β гра має сідлову точку - елемент матриці, що є одночасно мінімальним в своєму рядку і максимальним в своєму стовпці.

Загальне значення нижньої і верхньої ціни гри а = β= ν називається чистою ціною гри.

Сідловій точці відповідає пара стратегій сторін (стратегії А і В), які є оптимальними. Сукупність цих стратегій називається вирішенням гри в чистих стратегіях.

У тих випадках, коли а ≠ β рішення знаходиться в змішаних стратегіях. Змішаними стратегіями називаються такі, які одержують шляхом випадкового чергування чистих стратегій.

Змішана стратегія сторони А позначається:

,

де - ймовірності з якими застосовуються стратегії А₁, А₂, А_m, причому .

Аналогічно для сторони В.

,

де .

Вирішення гри в змішаних стратегіях буде пара оптимальних змішаних стратегій, позначених і . Виграш, що відповідає цьому рішенню, називається ціною гри ν.

Стосовно до ігор 2×2 змішанні стратегії набувають дещо іншого вигляду:

; ;

;

Стратегії, що входять в оптимальну стратегію з ймовірностями, відмінними від нуля, називаються активними.