7. Общая теория ндс

Нормальное и касательное напряжение обозначаются через  и , соответственно, с двумя индексами: _xx , _yy ,..., _zx . Первый индекс соответствует координатной оси, перпендикулярной к пло­щадке на которой действует данное напряжение, а второй  оси, вдоль которой оно направлено. Поскольку, у нормальных напряже­ний оба индекса одинаковы, то для них применяют и одномерную индексацию: _xx = _x , _yy = _y , и _zz = _z . Ориентация осей является произвольной.

Правило знаков примем следующее: если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положительным направле­нием соответствующей оси, то напряжение считается положитель­ным, если оно направлено вдоль положительного направления оси, вдоль которой оно действует. Так, на рис. 10.1 все напряжения положительные. Из трех условий равновесия параллелепипеда в виде суммы мо­ментов относительно координатных осей достаточно просто полу­чить важные утверждения, что

_yz = _zy ;    _zx = _xz ;    _xy = _yx . (10.1)

То есть, на двух взаимно перпендикулярных площадках состав­ляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и направлены обе либо к ребру, либо от него. Это утверждение  закон парности касательных на­пряжений, сформулированный в общем виде.

Рассматривая же равновесие параллелепипеда в виде суммы сил по направлениям координатных осей, и отбрасывая величины второго порядка ма­лости, легко получить дифференциальные уравнения его равнове­сия:

;

; (10.2)

,

где _x , _y , _z  составляющие объемных сил вдоль координатных осей.

С учетом закона парности касательных напряжений (10.1), уравнения (10.2) содержат шесть неизвестных напряжений: _x , _y , _z , _xy , _xz , _yz . Поскольку количество уравнений равновесия ста­тики (10.2), меньше, чем количество неизвестных напряжений, то в общем случае задача определения напряженного состояния в произвольной точке сплошной среды нагруженного тела, является статически неопределимой.

10.2. Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней  l = cos (x, v), m = cos (y, v), n = = cos  (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , . Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dF_x , dF_y , dF_z , соответственно будем иметь:

dF_x = dFl;     dF_y = dFm;     dF_z = dFn. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = _x  l + _yx  m + _zx  n;

Y = _yx  l + _y  m + _zy n; (10.4)

Z = _zx  l + _zy  m + _z n.

Выразим нормальное напряжение _v на наклонной площадке через X, Y, Z:

_v = X  l + Y  m + Z  n . (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

_v = _x l ² + _y m ² + _z n ² + 2 _yzmn + 2 _zxnl + 2 _xylm . (10.6)

Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ори­ентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каж­дой площадке отложим отрезок r = f (_v ), координаты конца век­тора которого будут следующими:

x = r  l;    y = r  m;    z = r  n.

Исключая из (10.6) направляющие косину­сы, получим

_v r ² = _x x ² + _y y ² + _z z ² + 2 _yzy z + 2 _xyx y + 2 _xzx z . (10.7)

Принимая обозначение

,

где k  произвольная постоянная, из (10.6) получим:

_x x ² + _y y ² + _z z ² + 2 _yzy z + 2 _xyx y + 2 _xzx z = k. (10.8)

Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) пред­ставляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы коорди­нат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

Это значит, что в произвольной точке напряженного тела суще­ствует такое положение системы координат x, y, z, в которой каса­тельные напряжения _xy , _xz , _yz равны нулю.

Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них  главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: ₁  ₂  ₃.

Рис. 10.2

Если в окрестнос­ти рассматриваемой точки определены по­ложение главных пло­щадок и главные на­пряжения, то сущест­венно упрощается си­стема уравнений (10.4). Они принимают вид:

X = ₁  l;   Y = ₂  m; Z = ₃   n.

Так как l ² + m ² + + n ² =1, то получим:

.

Рис. 10.3

    Следовательно, гео­метрическое место концов вектора пол­ного напряжения Р (X, Y, Z) об­разует эллипсоид, полуосям ко­торого являются главные напря­жения ₁, ₂, ₃ (рис. 10.3). Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напря­жений. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела враще­ния. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения становится главной. В случае, если все три главных на­пряжения равны между собой, то эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными.

Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений _x , _y , _z , _xy , _xz , _yz в произвольной системе координат x, y, z. Воз­вращаясь к рис. 10.2, предполагаем, что наклонная площадка явля­ется главной.

Обозначая полное напряжение на этой площадке через S можем записать:

X = Sl ; Y = Sm ; Z = Sn .  (10.9)

Соотношения (10.4) преобразуются к виду:

S  l = _x  l + _yx  m + _zx  n;

S  m = _yx  l + _y  m + _zy  n; (10.10)

S  n = _zx  l + _zy  m + _z  n;

или

(_x  S)  l + _yx  m + _zx  n = 0;

_yx  l + (_y  S)  m + _zy  n = 0; (10.11)

_zx  l + _zy  m + (_z  S)  n = 0.

Так как, l ² + m ² + n ² = 1, следовательно, l, m, n одновременно не могут быть равны нулю. Для того, чтобы система однородных уравнений (10.11) относительно l, m, n имела бы решение, отлич­ное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

. (10.12)

Отсюда

S ³  S ² I₁ + S I₂  I₃ = 0, (10.13)

где

I₁ = _x + _y + _z ;

I₂ = _y _z + _z _x + _x _y  _yx ² + _yz ² + _xz ²;

. (10.14)

Все три корня уравнения (10.13) являются вещественными и определяют значения главных напряжений ₁, ₂, ₃. Коэффи­циенты I₁, I₂, I₃ называются инвариантами напряженного состояния и их значения не зависят от выбранной системы координат x, y, z.

Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (10.11) подставляются значения главных напряжений ₁, ₂, ₃, а в качестве третьего используется равенство l ² + m ² + n ² = 1.

Если I₃ = 0 очевидно, что один из корней уравнения (10.7) также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное со­стояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется ₁ = ₃ , ₂ = 0.

Рис. 10.4

Если I₂ = I₃ = 0 то из уравнения (10.13) очевидно, что имеет место два нулевых корня и только одно из главных на­пряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется од­ноосным. Данное обстоя­тельство имеет место при простом сжатии или растя­жении бруса или при чис­том изгибе.

На практике, если име­ется сложное напряженное состояние, для выполнения расчетов на прочность не­обходимо выразить напря­жения, действующие на произвольной площадке, проходящей через данную точку, через главные напря­жения. С этой целью рас­смотрим равновесие призмы, показанной на рис. 10.4.

Проецируя все силы, действующие на призму, на оси, совпа­дающие с векторами  и  (рис. 10.4), получим:

;

.

Эти выражения можно преобразовать к виду:

(10.15)

Рассматривая совместно полученные выражения для  и , можно получить следующее выражение:

.

В системе координат ,  это уравнение окружности. Получен­ный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой на­пряженного состояния. В заключение заметим, что при имеет место:

.