3. Растяжение и сжатие

3.1. Внутренние силы и напряжения

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения F, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0  z  l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к следующему уравнению:

P + N_z = 0,

откуда следует, что

N_z = P = const.

Примем для N_z следующее правило знаков. Если N_z направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяже­ние), то она считается положительной. В обратном случае  отри­цательной.

Рис. 2.1

Нормальная сила N_z приложена в центре тяжести сечения, яв­ляется равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответст­вии с этим, определяется следующим образом:

.

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нор­мальных  напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямо­угольную сетку (рис. 2.1, б), то после нагружения поперечные ли­нии аа, bb и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что по­перечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одина­ковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и рав­ны

,

где F  площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 2.1, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напря­женного состояния и формулируемый следующим образом: осо­бенности приложения внешних нагрузок проявля­ются, как правило, на расстояниях, не превыша­ющих характерных размеров поперечного сечения стержня.