Деформированное состояние в точке. Геометрические уравнения и уравнения неразрывности

Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций (см. п.1.5): u (x, y, z), v (x, y, z) и w (x, y, z), определяющих перемещения вдоль коорди­натных осей x, y и z, соответственно. Достаточно просто можно показать, что деформации (линейные и угловые) выражаются через функции перемещений, (в случае малых перемещений, которые рассматриваются в сопротивлении материалов):

(10.16)

где _i  линейная деформация вдоль iтой оси координат, _ij уг­ловая деформация в плоскости i 0j (i , j = x,  y,  z) (см. рис. 10.1).

Правило знаков принимается следующее: для линейных дефор­маций  растяжению соответствует положительная деформация; для угловых деформаций положительное ее значение соответствует уменьшению прямого угла между положительными направлениями осей. По аналогии с напряженным состоянием, здесь также имеют­ся главные деформации и главные площадки деформирования, которые являются инвариантами, независящими от осей коорди­нат.

Принятая в механике деформируемого тела гипотеза о сплош­ности среды, выражающаяся, в частности, в том, что в одну и ту же точку пространства не могут прийти две материальные точки, рав­но, как и не допускается разрывов среды, находит свое воплощение в уравнениях неразрывности деформаций. Как видно из (10.16), шесть компонентов деформаций выражаются через три функции перемещений  следовательно между ними существует определен­ная связь в виде:

;

;

; (10.17)

;

;

.

Убедиться в верности (10.17) можно просто  достаточно под­ставить в них выражения (10.16). В случае плоской задачи, за исключением первого уравнения системы (10.17), остальные уравнения превращаются в тождество.

В заключение заметим, что в каждой точке среды деформируе­мого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные плос­кости, которые не испытывают сдвигов. Координатные оси, кото­рые образуют эти плоскости, называются главными осями деформируемого состояния.

Линейные деформации по главным осям называются глав­ными деформациями и нормируются в порядке ₁ > ₂ > ₃ с учетом их знака, причем знак “плюс” относится к тем деформаци­ям, которые вызваны в результате растяжения, и наоборот, знак “минус” относится к деформациям сжатия.

Заметим, что для изотропного тела, свойства которого не зави­сят от направлений координатных осей, главные оси напряжений и деформаций совпадают.

Физические уравнения теории упругости для изотропного тела. Обобщенный закон Гука

Для получения полной системы уравнений, описывающих на­пряженное и деформированное состояние тела, необходимо распо­лагать равенствами, связывающими напряжения и деформации. В эти равенства должны входить параметры, характеризующие физи­ческие свойства материалов. Поэтому они называются физически­ми уравнениями механики сплошной среды.

Составим аналитическое выражение обобщенного закона Гука, справедливого для идеально упругого изотропного тела. Для этого воспользуемся принципом независимости действия сил. Рассмот­рим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного парал­лелепипеда (рис. 10.1). При малых деформациях, действие каса­тельных напряжений вызывает только формоизменение, а от дейст­вия нормальных напряжений происходит изменение линейных раз­меров выделенного элемента. Учитывая данное обстоятельство, для трех угловых деформаций получаем:

, (10.18)

где G  модуль сдвига материала.

Линейная деформация по оси x, обусловленная напряжением _х , будет равна . Напряжениям _y , _z соответствуют дефор­мации по оси x обратного знака, равные и , соот­ветственно (здесь   коэффициент Пуассона). Следовательно

.

Аналогично можно определить относительные удлинения ребер параллелепипеда (рис. 10.1), перпендикулярных осям y и z. Запи­сывая для _y и _z аналогичные уравнения окончательно получим:

(10.19)

Отсюда, получим выражение для объемной деформации

. (10.20)

Полученные соотношения (10.18  10.19) являются аналитиче­ским выражением обобщенного закона Гука для упругого изотроп­ного тела.