Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим  свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.2). До нагружения стержня его длина равнялась l после нагружения она стала равной l + l (рис. 2.2).

Величину l называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация  остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину  dz и его деформация составит:

. (2.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

 = E  . (2.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (2.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.4) получим

. (2.5)

Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р F_ =  F, (2.17)

где F  площадь поперечного сечения стержня, F_ = F/cos   пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р =  сos . (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

_ = p cos  =  cos² ;     _ = p sin  =   sin 2  . (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что _ = , _ = 0. При  =  , т.е. на продольных площадках, _ = _ = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения _ принимают наибольшие зна­чения при  =  , и их величина составляет _max= . Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит назва­ние закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направ­лении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если обозначить:

_прод =  ; _попер =  ,  =  ,

то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значе­ния 0,1  0,45.