4.3. Решение одного варианта
1)
2)
1) Для достижения заданной степени точности необходимо определить
значение n (числа частичных интервалов) так, чтобы погрешность
(4.1)
Здесь
,
где
Находим
,
;
Положим
,
тогда неравенство (4.1) примет вид
,
откуда
,
т.е.
;
возьмем
Вычисление интеграла производим по формуле:
где
;
.
Все расчеты приведены в табл. 4.1
Таблица 4.1
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,7 |
0,49 |
1,28 |
1,1314 |
0,88386 |
|
1 |
0,73 |
0,5329 |
1,3658 |
1,1686 |
|
0,85572 |
2 |
0,76 |
0,5776 |
1,4552 |
1,2063 |
|
0,82898 |
3 |
0,79 |
0,6241 |
1,5482 |
1,2443 |
|
0,80366 |
4 |
0,82 |
0,6724 |
1,6448 |
1,2825 |
|
0,77973 |
5 |
0,85 |
0,7225 |
1,7450 |
1,3210 |
|
0,75700 |
6 |
0,88 |
0,7744 |
1,8488 |
1,3597 |
|
0,73546 |
7 |
0,91 |
0,8281 |
1,9562 |
1,3986 |
|
0,71501 |
8 |
0,94 |
0,8836 |
2,0672 |
1,4378 |
|
0,69551 |
9 |
0,97 |
0,9409 |
2,1818 |
1,4771 |
|
0,67700 |
10 |
1,00 |
1,0000 |
2,3000 |
1,5166 |
|
0,65937 |
11 |
1,03 |
1,0609 |
2,4218 |
1,5562 |
|
0,64259 |
12 |
1,06 |
1,1236 |
2,5472 |
1,5906 |
|
0,62657 |
13 |
1,09 |
1,1881 |
2,6762 |
1,6356 |
|
0,61140 |
14 |
1,12 |
1,2544 |
2,8088 |
1,6759 |
|
0,59669 |
15 |
1,15 |
1,3225 |
2,9450 |
1,7161 |
|
0,58272 |
16 |
1,18 |
1,3924 |
3,0848 |
1,7564 |
|
0,56935 |
17 |
1,21 |
1,4641 |
3,2282 |
1,7967 |
|
0,55658 |
18 |
1,24 |
1,5376 |
3,3752 |
1,8372 |
|
0,54431 |
19 |
1,27 |
1,6129 |
3,5258 |
1,8777 |
|
0,53253 |
20 |
1,30 |
1,6900 |
3,6800 |
1,9187 |
0,52129 |
|
|
|
|
|
|
1,40515 |
12,77022 |
Таким образом,
Ответ:
2)
Согласно условию
,
поэтому
Вычислительная формула имеет вид
,
где
,
.
Вычисление значений функций, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл. 4.2
Таблица 4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,20 |
0,30 |
0,29552 |
2,44 |
0,1211 |
|
|
1 |
1,25 |
0,40 |
0,38942 |
2,5625 |
|
0,1520 |
|
2 |
1,30 |
0,50 |
0,4794 |
2,69 |
|
|
0,1782 |
3 |
1,35 |
0,60 |
0,5646 |
2,8225 |
|
0,2000 |
|
4 |
1,40 |
0,70 |
0,6442 |
2,96 |
|
|
0,2176 |
5 |
1,45 |
0,80 |
0,7174 |
3,1024 |
|
0,2312 |
|
6 |
1,50 |
0,90 |
0,7833 |
3,25 |
|
|
0,2410 |
7 |
1,55 |
1,00 |
0,8415 |
3,4025 |
|
0,2473 |
|
8 |
1,60 |
1,10 |
0,8912 |
3,56 |
0,2503 |
|
|
|
|
|
|
|
0,3713 |
0,8305 |
0,6368 |
Следовательно,
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.4.3)
Таблица 4.3
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1211 |
0,0309 |
-0,0047 |
0,0003 |
-0,0001 |
1 |
0,1520 |
0,2062 |
-0,0044 |
0,0002 |
0,0000 |
2 |
0,1782 |
0,2018 |
-0,0042 |
0,0002 |
0,0000 |
3 |
0,2000 |
0,0176 |
-0,0040 |
0,0002 |
0,0001 |
4 |
0,2176 |
0,0136 |
-0,0038 |
0,0003 |
-0,0001 |
5 |
0,2312 |
0,0098 |
-0,0035 |
0,0002 |
|
6 |
0,2410 |
0,0063 |
-0,0033 |
|
|
7 |
0,2473 |
0,0030 |
|
|
|
8 |
0,2503 |
|
|
|
|
Так
как
,
то остаточный член формулы
Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.