3.4. Порядок выполнения заданий

1. Определить: какое из двух равенств точнее.

За точные числа взять значения данных выражений с большим числом десятичных знаков (на три). После определения погрешности каждого выражения, написать вывод с его обоснованием.

2. Найти интервалы точного числа двумя способами:

а) через абсолютную погрешность;

б) через относительную погрешность.

Округлить числа, оставив только верные знаки. Определить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности полученных приближенных чисел.

3. Вычислить значение функции u и предельную абсолютную и относительную ошибки функции u для данных значений х, у, z и абсолютных погрешностей аргументов. Значение найти двумя способами:

а) по формуле относительной погрешности непрерывной дифференцируемой функции. Для этого необходимо вначале получить формулу относительной погрешности для предложенной функции, исходя из оценки погрешности непрерывной дифференцируемой функции в общем виде (3.8);

б) по определению относительной погрешности,

г) сравнить относительные погрешности, найденные разными способами и по результатам сравнения написать вывод.

4. Найти допустимые абсолютные погрешности аргументов, которые позволяют вычислить значение данной функции u = х₁х₂ + х₂х₃ + х₁х₃ с четырьмя верными знаками после запятой.

Для этого предварительно вывести формулы абсолютных погрешностей аргументов заданной функции, исходя из решения обратной задачи теории погрешностей в общем виде (3.9).

3.5. Решение одного варианта

1) 9/11=0,818; =4,24;

2) а) 72,353( ); б) 2,3544; =0,2%;

3) а) 0,4357; б) 12,384.

1) Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: =9/11=0,81818…, = =4,2426. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности:

_, = _.

Предельные относительные погрешности составляют

,

.

Вывод. Так как , то равенство 9/11=0,818 является более точным.

2) а) Пусть 72,353( 0,026). Согласно условию, предельная абсолютная погрешность =0,026, значит, число верных знаков m=3, а=72.4 (т.е. в числе 72,353 верными являются цифры 7, 2, 3). Предельная абсолютная погрешность полученного приближения =0,026+0,047=0,073. Предельная относительная погрешность приближения а . Интервалы точного числа через предельную абсолютную погрешность (3.3):

72,4-0,073  А  72,4+0,073

72,327 А  72,473,

через предельную относительную погрешность (3.4):

72,4(1-0,00101)  А  72,4(1+0,00101)

72,327 А  72,473.

Вывод. В обоих случаях получили один и тот же интервал. Это говорит о правильности расчётов.

б) а=2,3544; =0,2%=0,002; = а=0,00471.

Далее аналогично вычислениям в предыдущем пункте.

3) а) u=xy²z³, х = 1,2; у = 2,1; z = 1,6; _х = 0,17; _у = 0,05; _z=0,02.

u (1,2; 2,1; 0,6)= 21,67603.

Формула (3.7) для рассматриваемой функции имеет вид:

_u=y²z³_х+2хуz³_у+3ху²z²_z.

Для заданных значений _u=4,915814.

Исходя их формулы (3.8), получим выражение для относительной погрешности:

Отсюда, .

б) .

Вывод. Относительные погрешности, найденные разными способами совпадают, что подтверждает правильность полученной формулы.

4) Для функции u=x²+y²+z³ выражения допустимых абсолютных погрешностей аргументов (3.9) имеют вид:

Пусть х=12,14; у=7,89; z=2,17; _u=0,00005 (по условию задачи на стр. 8). Тогда _х=0,0000041; _у=0,0000063; _z=0,000023.