Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+∆ t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+∆ u = u(t₀+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{∆ t→ 0}∆ u/∆ t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{∆ x→ 0}∆ y/∆ x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

∆ y = sin(x+∆ x)-sin x = 2sin(∆ x/2) cos (x+∆ x/2).

По определению производной

(sin x)' = lim_{∆ x→ 0}∆ y/∆ x

= lim_{∆ x→ 0} (cos (x+∆ x/2)(sin ∆ x/2)/(∆ x/2)) = cos x,

так как

lim_{∆ x→ 0}cos (x+∆ x/2) = cos x.

Таким образом,

(sin x)' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{∆ x→ 0+0}∆ y/∆ x

lim_{∆ x→ 0-0}∆ y/∆ x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит,

lim_{∆ x→ 0-0}∆ y/∆ x =-3, lim_{∆ x→ 0+0}∆ y/∆ x x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение ∆ x≠ 0, причем x+∆ x є (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+∆ x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+∆ x,f(x+∆ x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (∆ x).

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при ∆ x→ 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_{∆ x→ 0} φ(∆ x) = φ ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Физический смысл производной

Рассмотрим, например, некоторую линейную функцию y = f(x) = ax+b.

Если независимая переменная получает приращение ∆x, то функция получает приращение ∆y = a*∆x

∆y = f()-f(x) = [a*(x+∆x)+b] - [ax+b] = a*(x+∆x)+b-ax+b = a*(x+∆x)-ax = ax+a*∆x - ax = a*∆x

Отношение ∆y/∆x = a*∆x/∆x = a остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком х функция рассматривается, ни от того, какое взято ∆x. Это отношение называется скоростью изменения линейной функции.

Но если функция y=f(x) не линейная, то отношение

=[f(x+∆x) -f(x)]/∆x

зависит и от х, и от ∆x. Это отношение только "в среднем" характеризует функцию при изменении независимой переменной от данного х до x+∆x.

Определение 4. Отношение ∆y/∆x называется средней скоростью изменения функции в интервале (x, x+∆x) .

Ясно, что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы должны заставить ∆x стремиться к нулю. Т.е. мы приходим к понятию производной!

Скоростью изменения функции в данной точке х называется предел средней скорости изменения в интервале (x, x+∆x) при стремлении ∆x к нулю:

Последнее определение и дает нам физический смысл производной, который заключается в скорости изменения функции.