12.2 Геометрический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными

Совокупность линейных неравенств с общими неизвестными называется системой линейных неравенств.

Неравенства могут быть одного смысла (≤ или ≥) или разного.

Множество решений, которое удовлетворяет каждому неравенству системы, называется решением системы неравенств.

Системы неравенств, имеющие хотя бы одно решение, называются совместными.

Если системы неравенств не имеют решений, то они – несовместные.

Если система m неравенств с двумя переменными совместна, то множеством решений такой системы является выпуклый многоугольник или выпуклая многоугольная область (неограниченная).

Множеством решений системы линейных неравенств с двумя переменными может быть:

1) Точка;

2) Пустое множество;

3) Выпуклый многоугольник;

4) Выпуклая неограниченная область.

Пример:

Построить область решений системы линейных неравенств:

1)

– прямая l₁

x₁ = 0; x₂ = 5

x₂ = 0; x₁ = -10/5

О(0;0) ≤ 10 – верно

2)

– прямая l₂

x₁ = 0; x₂ = 6,2

x₂ = 0; x₁ = 14

О(0;0) ≤ 56 – верно

3)

– прямая l₃

x₁ = 0; x₂ = 4/3

x ₂ = 0; x₁ = 0,8

О(0;0) ≥ 4 – неверно

Точки пересечения:

10х₂ = 86

х₂ = 8,6

-3х₁ = 7,2

х₁ = 2,4

(2,4; 8,6)

1. Прямая линия на плоскости.

1.1. Уравнение линии на плоскости.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет из себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями - осью абсцисс Ох и осью ординат Оy.

Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 (или y=j(x)), связывающее две переменные величины x и y. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты (x,y) любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

1.2. Различные виды уравнения прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

Ax + By + C = 0 (1)

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Возможны следующие случаи:

1. С = 0, уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2. В = 0 (А ¹ 0), уравнение принимает вид Ax + C = 0 или x = - прямая, параллельная оси Oy (в частности, x = 0 - уравнение самой оси Oy);

3. А = 0 (В ¹ 0), уравнение принимает вид Вy + C = 0 или y = - прямая, параллельная оси Ox (в частности, y = 0 - уравнение самой оси Ox).

З

Рис.1

y

y

M

3

амечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, достаточно указать любые две ее точки.

П

N

ример 1. Определить точки пересечения прямой 3x - 4y + 12 = 0 с координатными осями и построить эту прямую.

Р

x

0

-4

ешение. Полагая x = 0, находим y = 3; таким образом, получена точка М(0,3) пересечения

прямой с осью Oy. При y = 0 значение x = -4 и N(-4,0) - точка пересечения прямой с осью Ox. Осталось провести прямую через точки М и N (рис. 1). ■

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где a = и b = есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Эта форма уравнения прямой особенно удобна для построения прямой на чертеже. Так, в предыдущем примере, после записи уравнения прямой в виде , легко определить координаты точек М и N.

Рассмотрим на плоскости xOy прямую, не параллельную оси Oy; при движении вдоль такой прямой в одном направлении x возрастает, а в другом убывает. Направление, отвечающее возрастанию x, назовем положительным. Угол a, на который надо повернуть положительную полуось Оx, чтобы совместить ее с положительным направлением данной прямой, называют углом наклона прямой к оси абсцисс. При этом угол наклона считается положительным, если положительную полуось Оx надо поворачивать против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, так что < a < . Можно считать, что для прямой, параллельной оси Оy, угол наклона a = .

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Оx:

k = .

Замечание. Прямая, параллельная оси Оy, не имеет углового коэффициента, т.к. не существует; или можно считать, что ее угловой коэффициент равен бесконечности, т.к. при a ® ® ¥.

Если прямая не параллельна оси Оy, то ее уравнение можно записать в виде

y = kx+b. (3)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оy, считая от начала координат. В частном случае, при b = 0 прямая y = kx проходит через начало координат.

Из общего уравнения прямой (1) при В¹0 можно получить уравнение y = , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом k = .

Пример 2. Найти угол наклона к оси Оx прямой, заданной общим уравнением 2x + 5y + 17 = 0.

Решение. Выразим из данного уравнения y. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом y = . Откуда, k = = -0,4, так что = -0,4. Искомый угол a = . ■

Рассмотрим далее решение некоторых типовых задач.

Задача 1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

П

M1

M2

y

y2

y1

x

x2

x1

0

усть имеются две точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂). Из геометрических соображений (рис.

2) угловой коэффициент искомой прямой равен . Подставим полученное значение k в уравнение (3): y = x +b.

Рис. 2 Учитывая, что прямая проходит через точку М₁(x₁,y₁), а, значит, ее координаты удовлетворяют искомому уравнению прямой, находим b= y₁ - x₁.

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде

= . (4)

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).

Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2y - 5 = 0. ■

Задача 2. Угол между двумя прямыми.

Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k₁x+b₁ и y = k₂x+b₂, причем, k₁ = и k₂ = (k₁ < k₂). Тангенс угла j

м

y

y=k1x+b1

y=k2x+b2

φ

ежду положительными направлениями этих прямых (0 < j < p) можно определить из соотношения (рис. 3)

α1

α2

Рис. 3 = = = . (5)

x

0

Замечание. Очевидно, второй угол, образованный прямыми, равен p -j.

Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2x + 51 и y = 3x - 19.

Решение. Здесь k₁ = 2, k₂ = 3, k₁ < k₂. По формуле (5) = = ; искомый угол j = . ■

Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.

Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: = и j=60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■

Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.

Даны две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a₂ =a₁ + 90°. Тогда = = = = . Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие или k₁k₂ = -1.

Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой y = - x + 1.

Решение. Так как k₁ = - , то k₂ = , т.е. = . Отсюда находим a₂ =30°. ■

Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁= k₂, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.

Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:

= . (6)

Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А₁А₂+ В₁В₂ = 0, а условием параллельности является равенство .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-3) параллельно прямой y = 2x - 20.

Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М₀, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2x - 5. ■

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

M1(x1,y1)

y

Найти расстояние d от данной точки М₁(x₁,y₁) до данной прямой l Ax+By+C=0 можно по формуле (рис. 4):

d

l

d= (7)

M2(x2,y2)

x

0

Точка М₂(x₂,y₂) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁(x₁,y₁) на прямую. Угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен = .

Координаты точки М₂(x₂,y₂) находим из Рис. 4

решения системы уравнений

(8)

Введем замену: u = x₂ - x₁; v = y₂ - y₁. Тогда (7) и (8) можно записать в виде

d= ; (9)

Au + Bv + Ax₁ + By₁ + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - ;

v = - .

Подставив эти значения в (9), получим

d= = . (10)

Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3x-2y-9 = 0.

Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d= = = . ■