2. Степенные ряды

Ряд (1) называют функциональным, если его члены являются функциями от x.

Простейшим функциональным рядом является степенной ряд

a₀ + a₁ x + a₂ x² +  + a_n xⁿ + , (11)

или в более общем виде:

a₀ + a₁( x  x₀ ) + a₂ ( x  x₀ )² +  + a_n ( x  x₀ )ⁿ +  (12)

Ряд (12) не отличается существенно от ряда (11), так как может быть сведен к нему заменой переменной: x  x₀ = y.

Давая x определенные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. В области сходимости ряда его сумма является функцией от x и обозначается через S(x).

Можно доказать, что для любого степенного ряда (11) существует конечное или бесконечное число R > 0, такое, что при | x | < R ряд сходится, а при | x | > R ряд расходится. При | x | = R, т.е. при x = R и x = R, ряд может сходится или расходится. Число R называют радиусом сходимости, а интервал (R,R)  интервалом сходимости. Для ряда (12) интервал сходимости | x  x₀ | < R или x₀  R < x < x₀ + R.

Для определения области сходимости степенных рядов можно применить признак Даламбера. Рассмотрим соответствующий степенному ряду (11) ряд, составленный из модулей его членов:

| a₀ | + | a₁ | | x | + | a₂ | | x |² +  + | a_n | | x |ⁿ +  (13)

Если ряд (13) сходится, то сходится и ряд (11).

Согласно признаку Даламбера для сходимости ряда (13) должно выполнятся условие:

,

или |x| < ,

т.е. радиус сходимости определяется через коэффициенты степенного ряда: R = .

Аналогичным образом для определения радиуса сходимости можно воспользоваться и признаком Коши, тогда

.

Отсюда, | x | < , или R = .

Как указывалось выше, сумма степенного ряда представляет собой функцию, определенную в интервале сходимости (R,R) этого ряда. Можно доказать, что функция

= a₀ + a₁ x + a₂ x² +  + a_n xⁿ +  (11)

дифференцируема и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (11):

= a₁ + 2 a₂ x +  + n a_n x^n-1 + 

при R < x < R. То же справедливо и для производных второго, третьего и т.д. порядков.

Аналогично, неопределенный интеграл от функции f (x) для всех x из области сходимости может быть получен почленным интегрированием ряда (11):

Степенной ряд в области сходимости по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя как многочлен, что делает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений.

2.1 Разложение функций в степенные ряды

Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f (x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

1 + x + x² +  + xⁿ +

является геометрическим рядом со знаменателем x и, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x | < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x² +  + xⁿ +, (14)

Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.

В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) x на  z, получим

= 1  z + z²   + (1)ⁿ zⁿ + (15)

при 0  | z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

Тогда

или

(16)

при | x | < 1.

При x = 1 разложение (16) принимает вид

(17)

но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x  1.

Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x =  z², тогда

= 1  z² + z⁴   + (1)ⁿ z²ⁿ + (18)

Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

,

или =

= (19)

при | x | < 1.

Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но

=

т.е. можно вычислить значение числа  с любой степенью точности.

Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.