Признак Коши Если для ряда (1) с положительными членами
(6)
то: а) при l < 1 ряд сходится; б) при l > 1 ряд расходится; в) при l = 1 признак ответа не дает.
Д о к а з а т е л ь
с т в о проведем для l
< 1 (случай
l
> 1 доказывается
аналогично). Возьмем число q
такое, что l<
q
< 1,
тогда, начиная с некоторого номера n
N
выполнено неравенство
или
откуда
un
< qn
для всех n
N.
Отбросим первые N
1
членов в ряде (1), тогда получим ряд
uN+ uN+1+ uN+2+…, (7)
все члены которого меньше соответствующих членов ряда:
qN + qN+1 + qN+2 + (8)
Этот ряд при q < 1 убывающая геометрическая прогрессия. Члены ряда (7), начиная с номера n N, меньше членов ряда (8). Из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7).
Интегральный признак
Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е. u1 u2 u3 и пусть f(x) такая непрерывная и невозрастающая функция, что f(1) = u1, f(2) = u2, , f(n) = un, , тогда справедливы следующие утверждения.
1
)
Если несобственный интеграл
сходится, то сходится и ряд (1).
2) Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).
На координатной плоскости отметим по оси x значения x=1,2,3,, которые соответствуют n=1,2,3,, и в каждой точке x=1,2,3, восстановим перпендикуляр, длиной равной un. Соединим
все точки плавной линией (см. рис. 2).
y
y = f(x)
u1 u2 u3 u4
0 1 2 3 4 n n+1 x
Рис. 2
Сумма площадей прямоугольников, построенных таким образом, что основание равно 1, а высота un, начиная с n = 1
Sn=
u1+
u2+
u3+
…+ un
>
На рис. 3 сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная со второго до (n+1)-го , т.е.
Sn+1
u1
<
y
y =f(x)
u1 u2 u3 u4
0 1 2 3 4 n n+1 x
Рис. 3
или
Sn+1 < + u1.
Пусть
сходится, т.е.
<
и Sn
< Sn+1
<
+ u1.
Это означает, что частичные суммы
ограничены при всех n
и
Ряд сходится.
Пример
6. Установить
сходимость ряда с общим членом
un
= =
.
Запишем (n+1)-ый
член ряда
un+1
=
Согласно признаку Даламбера
Ряд сходится.
Пример 7.
Установить сходимость ряда с общим
членом un
= =
Посчитаем
Ряд сходится по признаку Коши.
Пример
8. Установить
сходимость гармонического
ряда un=
.
Воспользуемся интегральным признаком
сходимости, тогда f(x)
=
.
Несобственный интеграл расходится, а, следовательно, расходится и гармонический ряд.
1.5 Знакопеременные ряды
Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.
Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены (при этом считаем все un > 0):
u1 u2 + u3 u4 + …+ (1)n-1 un + (9)
По отношению к подобным рядам Лейбниц доказал следующую простую теорему.
Теорема
Лейбница. Если
члены знакопеременного ряда (9) монотонно
убывают по абсолютной величине, т.е.
un+1
< un
(n
= 1,2,3,),
и
,
то ряд сходится, его сумма положительна
и не превосходит первого члена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Частичную сумму четного порядка можно записать в виде
S2m = (u1 u2) + (u3 u4) + …+ (u2m-1 u2m).
Из условия теоремы следует, что выражения в каждой скобке положительны. Следовательно, частичная сумма четного порядка S2m > 0 и возрастает с возрастанием m. С другой стороны, если записать эту же сумму так:
S2m = u1 (u2 u3) (u4 u5) … (u2m-2 u2m-1) u2m,
то каждая из скобок
оказывается положительной, т.е. S2m
< u1,
а значит,
Частичная сумма
нечетного порядка S2m+1
= S2m
+ u2m+1.
По условию теоремы
,
а, согласно доказанному,
,
тогда
.
Теорема доказана.
Пример 9. Установить сходимость ряда
В этом ряде 1 >
>
> ,
.
Согласно теореме Лейбница, ряд сходится.
Замечание.
Погрешность |SSn|
ряда (9) не превосходит модуля первого
отброшенного слагаемого, т.е. |SSn|
|un+1|.
Так, в примере 9, погрешность приближения
|SSn|
.
Рассмотрим знакопеременный ряд (9) и ряд, составленный из модулей его членов
|u1| + |u2| + |u3| + + |un |+ (10)
Если ряд (10) сходится, то и данный знакопеременный ряд (9) также сходится (по свойству 3).
Рассмотренный в примере 9 ряд сходится условно, т.к., согласно доказанному в примере 8, соответствующий гармонический ряд расходится.