Смешанное произведение векторов

Определение: Скалярное произведение векторного произведения векторов  и b на вектор c называют смешанным произведением векторов  , b и c .

( x b) *с =  * b *с

Пусть  = (_x ,_y,_z ) b = (b_x ,b_y,b_z ) с = (с_x ,с_y,с_z )

i j k

 x b = _x _y _z =

b_x b_y b_z

_y* _z _x _z _x _y

= b_x b_y * i - b_x b_z * j + b_x b_y * k

_y _z _x _z _x _y

( x b) * c = b_x b_y * c_x - b_x b_z * c_y + b_x b_y * c_z =

_x _y _z

= b_x b_y b_z =  * b * c (условное обозначе-

c_x c_y c_z ние смешанного произведения).

Получили формулу для нахождения смешанного произведения:

_x _y _z

 * b * c = b_x b_y b_z

c_x c_y c_z

Пример:

Даны 3 вектора.  = (1,2,1) , b = (3,4,0) , c = (0,1,1).

Найти смешанное произведение:

1 2 1

( x b) * c = 3 4 0 = 4 + 3 – 6 = 1

0 1 1

Свойства смешанного произведения

1)  * b * c = -  * c * b = - c * b * 

 * b * c = b * c *  = c *  * b

2)  * ( b₁ + b₂) * c =  * b₁ * c +  * b₂ * c

3) (* ) * b * c = * ( * b * c ) ,  - число.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Пусть даны векторы , b, c , которые не лежат в одной плоскости.

d Построим на них параллелепипед:

C

 c  = OA b = OB c = OC

O B

Bd=xbd=S_осн– площадь основания.



AV=Sосн *Hобъем тела.H– высота.

H= Пр_dcпроекция вектора с на векторd, который перпендикулярен плоскости основания.

Объем Vn=d* Пр_dc=d*c= (xb) *c=*b*c, еслиострый.

Если - тупой, тоVn=*b*c- модуль смешанного произведения.

Теорема (условие компланарности 3-х векторов) :

Три вектора ,b,c– компланарны*b*c= 0

Доказательство:

1. Необходимость: Допустим, что,b,c– компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости.

d =  x b

d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат  и b ,

тогда c  d , т.к. c лежит в той же плоскости, что и  и b

поэтому: (xb)*c= 0

2. Достаточность: Пусть*b*c= 0 - исходное условие.

Пусть ,b,c- некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости.

Однакообъем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости.

Откуда,b,c- компланарны , что и требовалось доказать.

N-мерные векторы

Определение: n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел.

 = (₁, ₂, ….., _n)

b = (b₁, b₂, …...., b_n)

Для n –мерных векторов существует N-мерное пространство.

Для n –мерных векторов вводят операции сложения векторов и умножения вектора на число:

 + b = (₁+ b₁, ₂+ b₂,….., _n + b_n )

 * = ( *₁,  *₂, …..,  *_n)

Определение:N-мерным векторным пространством называют множество всех n –мерных векторов относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число:

Rⁿ - n - мерное пространство.

R² – двумерное пространство векторов  = (₁, ₂)

Пусть дана система n-мерных векторов: ₁, ₂, ….., _n (1)

Определение: Векторbназывается линейной комбинацией системы, если существуют такие числа₁, ₂, ….._n, , для которых выполняется следующее равенство:

b = ₁*₁ + ₂* ₂ +….. + _n*_n

Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Прямая линия на плоскости. Системы координат на плоскости.

Декартова система координат.

 Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось   (ось ординат); горизонтальная – ось   (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка  на плоскости определяется двумя числами  , (рис. 1), называемыми координатами  . Точки   и   расположены на плоскости в соответствии с своими координатами.