Свойства действий над векторами

1. A +B =B +A

2. A+(B+C)=(A +B) +C

3. *(* A)=(* )*A , ,  - числа.

4. (+)*A=(* A)+(*A)

5. *( A + B)=(*A)+(*B)

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось “l” и задан вектор АВ

Через точки А и В проведены плоскости перпендикулярные оси “l”.

Эти плоскости пересекают нашу ось в точках А₁и В₁.

О п ределение:Проекциейвектора АВ на ось “l” называют величину направленного отрезка А₁В₁. Если направление вектора А₁В₁совпадает с направлением оси “l” то проекция вектора - есть

д лина отрезка А₁В₁ .

B ЕслиA₁B₁l, то проекция - величина

- A₁B₁

A l

A ₁B₁ , если l A₁B₁

B 1 Пр _l AB =

A1 - A₁B₁ , если l A₁B₁

Координаты точки на числовой оси, на плоскости и в пространстве

Определение:Числовой осьюназывают прямую, на которойуказано положительноенаправление, началоотсчетаимасштаб. Координатой точки на оси называют проекцию радиус-вектора данной точки на ось.

x

X , M(x), x = Пр_X OM

0 1 M

Определение: Прямоугольнойдекартовойсистемой называютдвевзаимно перпендикулярныеоси, которые имеют общее начало отсчета и масштаб.

Y

y M(x,y) x = Пр_XOM

Xy= Пр_YOM

Ox

Определение: Прямоугольнойдекартовойсистемой в пространстве называютсятривзаимно перпендикулярныеосис общим началом отсчета и масштабом.

Z

Z x= Пр_XOM

M (x,y,z)y= Пр_YOM

O y Y z = Пр_ZOM

x M₁

X

Теоремы о проекции вектора на ось

Теорема 1:Проекция вектора на ось равнапроизведению длины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.

П р_lAB = AB * cos ,  = ( AB, l )

Доказательство: рассмотрим 2 случая:

1 ) BA₁B₁l,cos=AC/AB

A C

l AC = AB *cos,

A ₁B₁A₁B₁= AB * cos

Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.

2 ) BA₁B₁l

C

A l AC = AB * cos ( 180⁰-)

B₁A₁

A₁B₁ = - AB * cos 

- A₁B₁ = AB * cos  , т.о. Пр_lAB = AB * cos

Что и требовалось доказать.

Теорема 2:Проекция векторана числовую ось равнаразности координатначала и конца вектора.

A(X_A,Y_A,Z_A) , B(X_B,Y_B,Z_B), Пр_XAB=X_B-X_A,Пр_YAB = Y_B- Y_AПр_ZAB=Z_B-Z_A,

Доказательство:

A₁B₁ =OA₁+OB₁,OA₁=X_A;OB₁= -X_B

B

C A₁B₁= X_A– X_B, -A₁B₁= X_B– X_A

A l

B₁ О A₁ Пр_XAB = X_B - X_A

Что и требовалось доказать.

Теорема 3:Проекция суммыдвух векторов на числовую ось равнасумме проекцийэтих векторов на данную ось.

Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b

Доказательство:

A 2 Поскольку длинаA₁^’A₃^’=A₁^’A₃^’+A₁^’A₃^’ ,

a b

A 3 то Пр_l A₁A₃ = Пр_l A₁A₂ + Пр_l A₂A₃ ,

A 1

a + b l то есть Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b ,

A₁^’A₂^’A₃^’

что и требовалось доказать.

Теорема4:При умножении вектора на число его проекциятакже умножается на это число (отличное от нуля):

Пр_l(*) =* Пр_l

Доказательство:

 *(>0)

=(,l)



 l₁=(*,l), если<0

₁

*  (<0)

1) >0, Пр_l (*  ) = *  * cos =  *  * cos = *  *cos =

= * Пр_l 

2) <0, Пр_l (*  ) = *  *cos(180⁰-)= - * * cos = -  *  *cos =

= * Пр_l  ,

что и требовалось доказать.

Если в пространстве задан вектор , то для него вводят координаты (_x, _y, _z) , _x = Пр_x  , _y = Пр_y  , _z = Пр_z  .

Следствияиз теорем:

1)  = (_x, _y, _z) ,

b = (b_x, b_y, b_z) ,   b = (_x b_x, _y b_y, _z b_z)

2) *  = (*_x, *_y, *_z)

3) Условие коллинеарности векторов:

 b = _x / b_x = _y / b_y = _z / b_z