Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства

Если каждому натуральному числу nпо некоторому закону поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что заданачисловая последовательность{а_n}:a₁,a₂, …a_n, …

Можно сказать, что числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел а_n=f(n),nN.

При этом числа a₁,a₂, … называют членами последовательности, а

a_n– ее общим членом.

Примеры числовых последовательностей:

100, 200, 100*n,...;

5, -5, 5, -5, …;

0, 3/2, 2/3, 5/4, …, (1 + (-1)ⁿ/n), …

Для числовых последовательностей можно сформулировать свойства монотонности так же, как и для функций. Например, в первом из рассмотренных примеров последовательность является возрастающей и неограниченной. В остальных двух примерах последовательности монотонными не являются. Вторая последовательность является ограниченной (ее общий член по модулю не превышает 5). В последнем примере последовательность также ограничена – снизу нулем, а сверху числом 1,5.

Рассмотрим последний пример (на рисунке 2.1 члены этой последовательности изображены на числовой оси). В этой последовательности первый член равен нулю, а в остальных членах в знаменателе стоит номер члена, а числитель на единицу больше номера, если номер четный, или на единицу меньше номера, если номер нечетный. При этом легко заметить, что все нечетные члены меньше единицы, а четные – больше единицы, но с ростом номера расстояние до единицы на числовой оси становится все меньше. Действительно: |a₁- 1| = 1, |a₂- 1| = 1/2, |a₃- 1| = 1/3,..., |a_n- 1| = 1/n,... Таким образом, с ростомn|a_n- 1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Рисунок 2.1 – Члены числовой последовательности (пример) на числовой оси

Предел числовой последовательности

Число А называется пределом числовой последовательности{а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такой номер N (зависящий от, т.е. N= N()), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство |a_n- А| <.

Предел числовой последовательности обозначается  илиa_nА приn(говорят, что последовательность стремится к А при стремленииnк бесконечности).

Если последовательность имеет предел, ее называют сходящейся, а в противном случае -расходящейся.

Итак,  .

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших nчлены последовательности как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число, каким бы малым оно ни было).

Можно доказать, что последний пример последовательности сходится к единице, т.е. что (1 + (-1)ⁿ/n)1 приn. Рассмотрим |(1 + (-1)ⁿ/n) - 1| = |(-1)ⁿ/n| = 1/n. Для> 0 1/n<приn> 1/. Определим N= N(), как целую часть от 1/. Таким образом, для . Утверждение доказано.

Если вспомнить, что множество точек a_nна числовой прямой таких, что неравенство |a_n- А| <(где> 0) называется-окрестностью точки А, то можно определить предел последовательности по-другому, геометрически (см. рисунок 2.2). Число А есть предел числовой последовательности {а_n}, если для любого> 0 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в-окрестности точки А. Вне этой-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Рисунок 2.2 – Геометрический смысл предела последовательности