Способы задания функций

I. Формулой

Пример 1.

1)  ,

2)  ,

3)  .

II. Таблицей

 — конечное множество и выписаны все значения функции.

III. Графиком

Определение. График функции   — множество всех точек координатной плоскости, абсцисса которых — число из области определения функции, а ордината точки с абсциссой  равна  :

Множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции в том и только том случае, если в этом множестве не встречается двух точек с одинаковой абсциссой (иначе: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает это множество не более, чем в одной точке). Если функция задана графиком, то ее область определения — это проекция графика на ось абсцисс. Множество значений функции — это проекция графика на ось ординат.

Определение. Пусть функция   определена на множестве  , а множество   — множество значений  . Пусть  . Тогда множество   называетсяпрообразом множества   при отображении   и обозначается .

Замечание. Если множество   состоит из одного элемента  , то будем писать  .

Определение. Пусть   определена на множестве  . Пусть  . Говорят, что функция   возрастает (строго возрастает) [убывает] {строго убывает} на множестве  , если для любых   справедливо неравенство        .

Обозначения:   — возрастает;

 — строго возрастает;

 — убывает;

 — строго убывает.

Определение. Нулем функции   называется любое решение уравнения  .

Нуль функции   называется также корнем уравнения  .

Определение. Средней скоростью роста функции   на отрезке  , входящем в ее область определения  , называется число  .

Предел последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число    то говорят, что задана числовая последовательность   Кратко она обозначается символом      называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например,   ).

2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой 

   xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

3. и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

4. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числаπ = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N_ε, что для всех n ≥ N_ε выполняется неравенство 

|xn – a| < ε,

т. е.   При этом пишут, что   или   при n → ∞. Кратко это определение можно записать так: 

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Рисунок 1.1.1.1. ε-окрестность точки a.

Проще говоря, число a называется пределом последовательности {x_n}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {x_n}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Так, если   то   Действительно, выбрав для произвольного ε > 0   получаем  , так как   . Здесь существенно, что N_ε зависит от ε.

Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {x_n} такой, что x_n = a при n ≥ n₀) в качестве N_εдля любого ε можно взять n₀.

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

Последовательность   называется возрастающей, если для любого   выполняется неравенство 

xn + 1 > xn.

Последовательность  называется убывающей, если для любого  выполняется неравенство 

xn + 1 < xn.

Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.

5. Пределы функции

6. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

7. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Определение предела по Коши и Гейне

Пусть функция f(x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x=a. (При этом не требуется, чтобы значение f(a) было обязательно определено.)  Число L называется пределом функции f(x) при x→a, если для каждого ε>0 существует такое число δ>0, что

|f(x)−L|<ε,

при условии

0<|x−a|<δ.

Данное определение предела известно как ε−δ− определение или определение Коши.  Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f(x) имеет предел Lв точке x=a, если для каждой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, последовательность f(xn)сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. 

Односторонние пределы

Символом limx→a−0 обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x<a. Соответствующий предел limx→a−0f(x) называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.  Аналогично, символом limx→a+0 обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь кa, принимает значения x>a. Соответствующий предел limx→a+0f(x) называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.  Отметим, что двусторонний предел limx→af(x) существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть limx→a−0f(x)=limx→a+0f(x). В этом случае

limx→af(x)=limx→a−0f(x)=limx→a+0f(x).

6. Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.