Добавил:
Tushkan
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Математические модели в биологии.pptx
X
- •Г.Ю.Ризниченко.
- •Примеры моделей.
- •ВВЕДЕНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ
- ••Компьютеры в современном мире стали привычными для человеческой деятельности: в финансовой сфере, в
- ••Компьютер работает не с самой системой, а с моделью. Что же такое МОДЕЛЬ?
- •Примеры моделей.
- •Примеры• моделей.
- •Примеры моделей.
- •Примеры моделей.
- •Примеры моделей.
- ••Из приведенных примеров видно, что любая физическая модель обладает конкретными свойствами физического объекта.
- ••Если удается сформулировать «хорошую» математическую модель, для ее исследования можно применить весь арсенал
- ••Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Эта область
- •Пример
- ••Следующая известная истории модель - модель Мальтуса (1798), описывающая размножение популяции со скоростью,
- •• Здесь r - коэффициент, аналогичный коэффициенту q в дискретной модели - константа
- ••Сейчас биологические журналы полны математическими формулами и результатами компьютерных симуляций. Имеются специальные журналы,
- •Классификация моделей
- ••Регрессионные зависимости это формулы, описывающие связь различных характеристик системы, не претендуя на физический
- ••1. Зависимость между количеством производителей хамсы S и
- ••Коэффициенты в регрессионных моделях обычно определяются с помощью процедур идентификации параметров моделей по
- ••По меткому выражению Р. Шеннона (1978) имитационное Имитационныемоделирование это нечто промежуточноемоделимежду искусством и
- ••Особенно привлекательным оказалось применение имитационных Имитационныемоделей для описания экологическихмоделисистем – необычайно
- ••Основные этапы построения имитационной модели следующие.
- •Имитационные модели
- •Имитационные модели (simulation)
- •Примеры•Молекулярная динамика.
- •Примеры•2. Модели систем организма. В настоящее время имеются имитационные модели многих систем организма
- ••4. Модели водных экосистем. Водная среда гораздо более однородна, чем
- ••Модели глобальной динамики сыграли особую роль в становлении имитационного моделирования. Именно для этих
- ••Всякая сложная система при своем функционировании подчиняется физическим, химическим и биологическим законам. Однако
- ••Несмотря на разнообразие живых систем, все они обладают
- ••2. Размножающиеся системы (способные к авторепродукции). Это важнейшее свойство живых систем
- ••3. Открытые системы, постоянно пропускающие через себя потоки вещества и энергии. Биологические системы
- ••В заключение этой вводной лекции отметим, что Спецификакомпьютерные грамматикимоделейпозволяютживыхполучить
- •ЛЕКЦИЯ 2 МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫЕ
- ••Изучение математических моделей биологических систем начнем с систем первого порядка, которым соответствует одно
- ••Интегральные кривые уравнения (2.1) не могут пересекаться. Решения уравнения (2.1) не могут быть
- ••Стационарное состояние (точка покоя, особая точка, состояние равновесия)
- ••Каждый имеет интуитивное представление об устойчивости. На рис. 2.3. в обоих положениях (а
- ••Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, если
- ••Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малые отклонения от него со временем затухают.
- ••Правую часть разложим в ряд Тейлора в точке :
- ••В случае одного уравнения вопрос об устойчивости состояния равновесия нетрудно решить, рассматривая график
- ••2. Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с минуса на плюс при
- ••Рассмотрим еще один пример, который относится к классическим моделям математической экологии. Логистическое уравнение
- ••ЛЕКЦИЯ 3
- ••Численность популяции может меняться во времени
- ••Модель предложена Мальтусом в 1798 г. в его классическом труде «О законе роста
- ••Обсуждению важности вывода Мальтуса для популяционной динамики великий Дарвин посвятил несколько страниц своего
- ••График зависимости численности от времени в соответствии с законом экспоненциального роста изображен на
- ••Логистическое уравнение обладает двумя важными свойствами. При малых зачениях х численность возрастает экспоненциально
- ••Посмотрим, будут ли эти корни устойчивыми. Для этого вначале воспользуемся аналитическим методом Ляпунова.
- ••Проведем теперь исследование устойчивости стационарных решений этого уравнения, исходя из графика функции правой
- ••На рис. 3.6 показана схема расчета экспериментальных кривых пополнения. Разность между двумя кривыми
- ••Рис. 3.6. Кривые пополнения, соответствующие в модели кривым зависимости скорости роста от численности
- ••Модель популяции с наименьшей критической численностью
- ••Рис. 3.7. а – график зависимости численности от времени и б – скорости
- ••Этот эффект может быть учтен, если в формулу (3.7) ввести член, пропорциональный численности
- ••Рис.3.8. Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста от численности (б)
- ••Величина нижней критической плотности L различна для разных видов. Наблюдения биологов показали, что
- ••При любых промыслах особый интерес представляет величина нижней критической границы, при переходе через
- •ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
- ••Особенно просто выглядит разностное уравнение в случае, когда численность каждого следующего поколения в
- ••В таких случаях функция N – одноэкстремальная функция (рис. 3.10)
- ••Вспомним логистическое уравнение, которое описывает развитие популяции в непрерывном времени.
- ••Экспоненциальная форма такой зависимости была предложена Мораном (1950) для численности насекомых и Рикером
- ••Введем для разностных уравнений (отображений) некоторые понятия, соответствующие основным понятиям теории дифференциальных уравнений.
- ••Обозначим .
- ••Для уравнения (3.13) равновесие находится из выражения
- •Рис. 3.14. Циклическое поведение решения уравнения 3.13
- ••Иногда в качестве дискретного аналога используется более простая формула, в которой численность выражена
- ••Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу моделей, впервые предложенных Лесли, (1945, 1948).
- ••Вторая компонента получается с учетом двух процессов. Первый – переход особей, находившихся
- ••Коэффициенты для каждой группы имеют следующий смысл:
- ••По диагонали матрицы стоят нули, под диагональными элементами коэффициенты выживания , на первой
- ••Такая запись означает, что исходная популяция состоит из одной самки старшего возраста (вектор
- ••Наклон графика равен ln 1 – собственной скорости естественного прироста. Соответствующий главному собственному
- •Уравнения• с запаздыванием
- •• Логистическое уравнение с запаздыванием может быть записано в виде: (3.24)
- ••Решение уравнений с запаздыванием демонстрирует замечательное разнообразие динамических режимов, в том числе колебания
- ••Рассмотренные нами модели популяций были детерминистическими. ВероятностныеОднако существуют два аспекта, моделипо которым детерминистическая
- ••Вероятностное описание процессов размножения и гибели.
- ••Предположим, что в каждый момент времени может произойти только одно событие, а именно
- ••Системы дифференциально-разностных уравнений, аналогичных уравнениям (3.27), которые можно рассматривать как динамические уравнения для
- ••Легко заметить, что математическое ожидание (3.31) совпадает с детерминистическим средним.
- ••Смысл выражения (3.30) состоит в том, что если имеется некоторое большое число популяций
- ••1) в момент времени t было n особей, и за время dt это
- ••Таким образом, даже в случае простейшего стохастического процесса размножения и гибели общее выражение
- ••Приравняв правую часть к нулю, из уравнений (3.33) можно найти выражения для этой
- •Учет• Флуктуациифлуктуацийусловий среды могут приводитьсредык . изменению характера взаимодействий между
- ••Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся более резкими; это значит,
- ••Следствием учета случайных факторов в математических моделях теории популяций (и в теории биологических
- •ЛЕКЦИЯ 4 МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДВУХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
- ••Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из
- ••Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой
- ••Особый интерес представляют главные изоклины:
- ••Таким образом, фазовые траектории системы – это проекции интегральных кривых в пространстве всех
- ••Пусть система находится в состоянии равновесия.
- ••Рассмотрим систему двух линейных уравнений:
- ••Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или
- ••Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый "портрет" системы.
- ••Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом
- •Метод изоклин
- ••Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:
- ••допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4).
- ••В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы Корнипереходим от действительнойλ1, λ2 – действительныплоскости
- •Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол
- ••Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять
- ••Все остальные интегральные кривые – суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис.
- ••Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например,
- ••и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой:
- ••В этом случае при действительных x и y мы будем иметь Корникомплексныеλ1,сопряженныеλ2 –
- ••которое легче интегрируется, если перейти к полярной системе координат (r, φ). После подстановки
- ••Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17)
- •• Введем обозначения:
- ••На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров.
- ••Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то
- •ЛЕКЦИЯ 5 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- ••Пусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида:
- ••Математический анализ поведения траекторий этой системы на фазовой плоскости связан с именами французского
- ••Предположим, что функции P и Q непрерывны и имеют непрерывные производные не ниже
- ••Решение этой системы было рассмотрено в Лекции 4. Оно определяется корнями характеристического уравнения
- ••В случае, когда оба корня характеристического уравнения имеют отличные от нуля действительные части
- •Примеры•Лоткой была исследована гипотетическая химическая реакция:
- ••Из этих условий получим систему алгебраических уравнений, связывающих равновесные концентрации :
- ••Отметим, что величины отклонений от стационарных значений переменных , могут менять знак, в
- •Рис. 5.1. Фазовый портрет системы 5.13.
- ••При подкоренное выражение отрицательно, и особая точка – фокус, при обратном соотношении –
- ••Соотношение параметров
- ••В качестве второго примера рассмотрим классическую модель
- ••Эти рассуждения приводят к системе уравнений для изменений численности зайцев-жертв x и волков-хищников
- ••Рис. 5.3. Фазовый портрет системы 5.17. Особая точка типа «центр».
- ••Здесь , - отклонения численностей от их стационарных значений:
- ••Изменения численности жертвы и хищника во времени представляют собой колебания, причем колебания численности
- •Рис. 5.4. Кривые численности зайца и рыси в Канаде (по К. Вилли, В.
- ••В дальнейшем мы рассмотрим модели, описывающие устойчивые колебательные режимы, и покажем, что на
- ••Серьезным недостатком рассмотренной модели Вольтерра является неустойчивость решений по отношению к малым случайным
- ••Система (5.19) отличается от ранее рассмотренной системы наличием в правых частях членов:
- ••Стационарное решение:
- ••Из выражения для характеристических чисел видно, что если выполнено условие
- ••При изменении знака неравенства на обратный точка становится устойчивым узлом.
- •МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ИССЛЕДОВАНИЯ
- ••Если существует дифференцируемая функция V (x1,…,xn),
- ••1. Рассмотрим линейную систему:
- ••2. Рассмотрим систему уравнений, описывающую конкуренцию видов, численности которых x и y. Каждый
- •ЛЕКЦИЯ 6
- ••Биологические системы включают большое число процессов с разными характерными временами, причем иерархия этих
- ••Благодаря фотосинтезу образуется органическое вещество из углекислого газа и воды с использованием энергии
- ••Средние, быстрые и медленные времена.
- ••Отметим, что z* не является истинно стационарным значением, «медленная» переменная z будет продолжать
- ••Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с
- ••Математически строгое обоснование применения метода ТеоремаквазистационарныхТихоноваконцентраций (редукции системы в
- ••Теорема Тихонова устанавливает условия редукции системы дифференциальных уравнений с малым параметром (условия замены
- ••Решение полной системы (6.4 - 6.5) стремится к решению вырожденной системы (6.5) при
- ••Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых переменных не
- ••Классическим примером является модель базовой Ферментферментативной-субстратнаяреакции, предложеннаяреакция
- ••В системе (6.7.) учтены следующие процессы:
- ••Поскольку реакция превращения фермент- субстратного комплекса необратима, уже из схемы реакций (6.6) ясно,
- ••В размерном виде это – классическая формула Михаэлиса - Ментен для кинетики изменения
- •Бифуркации динамических
- ••Для оценки «сложности» бифуркации вводится понятие «коразмерности». Коразмерность k совпадает с числом параметров,
- ••Кризисы – бифуркации аттракторов, сопровождающиеся качественной перестройкой границ областей притяжения (бассейнов) аттракторов.
- •Модельные•Для описания событий, происходящихсистемывблизи бифуркационной границы удобно использовать системы самых простых уравнений, обычно
- •Седло-узловая бифуркация
- ••Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей на примере
- •Трехкратное• равновесие (сборка)
- ••Бифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания как минимум двух параметров.
- ••Границы области бистабильности образованы линиями l1 и l2 ,
- ••Рис. 6.9. Бифуркация «Ласточкин хвост»
- •ЛЕКЦИЯ 7
- ••Важная особенность биологических систем – переключение из одного режима функционирования в другой. Приведем
- ••Рис. 7.1. Фазовый портрет триггерной системы, описывающей явление конкуренции между двумя одинаковыми видами.
- ••Соответствующая система уравнений имеет вид:
- ••Система описывается уравнениями:
- ••Рассмотрим фазовый портрет системы, обладающей двумя устойчивыми стационарными состояниями (рис. 7.3). Здесь a,c
- •1. Силовое переключение.
- ••Рис. 7.4. Поведение переменных во времени при силовом переключении после добавления в
- •2. Параметрическое
- ••Рис. 7.5. Параметрическое переключение триггера. Последовательные стадии трансформации фазового портрета. Стрелками обозначено направление
- ••Тогда система, находившаяся в начале процесса переключения в стационарном режиме а, в результате
- •МоделиКак мы видели выше,отборав триггерной системе изображающая точка “выбирает” (в зависимости от параметров
- ••Изучая приведенную выше геохронологическую таблицу, можно выделить два класса процессов эволюции:
- ••Ко второму типу относится образование изотопов химических элементов, макромолекул в химической эволюции и
- ••Главный вопрос эволюции: «как появилось свойство авторепродукции?» включает в себя несколько вопросов. Вот
- ••Можно выделить четыре стадии эволюции формирования единого
- •Отбор•Общая модельодноготакого отбораизимеетравноправныхвид:
- ••Для второго – нетривиального симметричного стационарного состояния характеристический определитель системы имеет вид:
- ••Модель (7.4) демонстрирует принципиальную возможность
- ••Однако модель (7.4) не может описывать реальную систему, так как описывает неограниченный рост
- ••Система в безразмерном виде:
- ••Построим фазовый портрет системы. (Рис.7.8) Изоклины вертикальных касательных:
- ••Рис. 7.8. Фазовый портрет системы 7.15, описывающей отбор одного из двух равноправных видов
- •Генетический триггер Жакоба и
- ••Рис. 7.9. Схема синтеза двух ферментов по Жакобу и Моно
- ••Очевидно, что при таком характере взаимодействий при интенсивной работе первой системы вторая заблокирована,
- ••Опустив штрих у времени, перепишем систему в безразмерном виде:
- ••Фазовый портрет триггерной системы 7.19 приведен на рис. 7.11
- •ЛЕКЦИЯ 8
- ••Для биологических систем характерно периодическое изменение различных характеристик. Период этих колебаний может быть
- ••В данном случае периодическое изменение величин представляет собой один из типов стационарного поведения
- ••В фазовом пространстве такому типу поведения соответствует притягивающее множество (аттрактор), называемое предельным
- ••Периодическому изменению соответствует замкнутая траектория на фазовой плоскости, и обратно: всякой замкнутой траектории
- ••Например, для системы
- ••Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот
- ••Если положить
- ••Это система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода T, поскольку a, b,
- ••Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят, и
- ••Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая
- ••Неустойчивый предельный цикл также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой
- ••Существование предельных циклов возможно лишь в системе
- ••«Модельной» системой (см. лекция 6), описывающей рождение предельного цикла при жестком возбуждении, является
- ••При увеличении параметра с и его переходе через ноль скачком возникают устойчивые автоколебания
- ••Простейшим классическим примером существования автоколебаний в системе химических реакций является
- ••Хотя тримолекулярная стадия в химической кинетике не столь распространена, как бимолекулярные процессы, выражения
- ••Здесь А, В — исходные вещества, C, R — продукты, X, Y —
- ••Исследуем стационарное решение (8.6) на устойчивость по методу Ляпунова. Введем переменные, характеризующие отклонения
- ••Напомним, что особая точка является устойчивой, если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны.
- •Модель•Одной из темновыхпервых моделей,процессовописывающихфотосинтезаколебательный. процесс в живой системе, была модель темновых
- ••Известно, что в условиях смены дня и ночи интенсивность фотосинтеза, то есть скорость
- ••В цикле участвуют углеводы с различным содержанием углерода (индекс внизу означает число атомов
- ••Предполагалось, что прибыль тяжелых сахаров с6 может осуществляться за счет соединения двух легких
- ••Переменные представляют собой нормированные концентрации легких (x) и тяжелых (y) сахаров. В положительном
- ••Классическим примером колебательной биохимической реакции является гликолиз. В процессе гликолиза
- ••На схеме [Гл] - глюкоза, Ф6Ф - фруктозо-6-фосфат субстрат ключевой реакции, ФДФ продукт
- ••Опустив штрихи у новых переменных, получим систему в безразмерном виде :
- ••Рис. 8.14. Модель гликолиза (8.10). Кинетика изменений концентраций фруктозо 6 фосфата (х) и
- •Внутриклеточные колебания
- ••Модель состоит из двух дифференциальных уравнений (8.11)
- ••В процессе жизненного цикла клетка удваивает свое
- ••Циклин-зависимые протеин киназы (Cdk) индуцируют последовательность процессов путем фосфорилирования отдельных белков.
- ••Он переходит в активную форму под действием циклина Cln (N) и Start киназы
- ••Большое количество работ было посвящено попыткам моделирования периодического воздействия на клеточный цикл с
- •ЛЕКЦИЯ 9
- ••Основателем современной математической теории популяций справедливо считается итальянский математик Вито Вольтерра, разработавший математическую
- ••Гипотезы Вольтерра
- ••Аналогии с химической кинетикой
- ••Наконец, линейные положительные члены в правых частях уравнений Вольтерра, отвечающие росту популяций в
- ••В биологической литературе обычно классифицируют взаимодействия по участвующим в них механизмам. Разнообразие здесь
- ••Уравнения КОНКУРЕНЦИИ:
- ••Отсюда следует неравенство:
- ••Поведение фазовых траекторий системы дает наглядное представление о возможных исходах конкуренции. Приравняем нулю
- ••Возможное расположение главных изоклин в системе (9.2) изображено на рис.9.1. Рис. 9.1 а
- ••Для изучения конкуренции видов ставились эксперименты на самых различных организмах. Обычно выбирают два
- ••Рис. 9.2. Конкуренция у диатомовых водорослей. а при выращивании в монокультуре Asterionella Formosa
- ••Широко известны эксперименты по изучению конкуренции Г. Гаузе, продемонстрировавшие выживание одного из конкурирующих
- ••Модель конкуренции (9.2) имеет недостатки, в частности, из нее следует, что сосуществование двух
- ••Три других возможных стационарных состояния:
- ••Рис. 9.4. Расположение главных изоклин на фазовом портрете вольтерровской системы хищник-жертва (9.7) при
- ••Изоклины горизонтальных касательных представляют собой прямые
- ••Из рис. 9.4 видно следующее. Система хищник – жертва (9.7) может иметь устойчивое
- ••Как и в случае одной популяции (см. Лекция 3), для модели (9.7) можно
- ••Таким образом, стохастическая модель оказывается неустойчивой, так как стохастический “дрейф” рано или поздно
- ••Рис. 9.5. Рост
- ••Итак, анализ вольтерровских моделей взаимодействия видов показывает, что, несмотря на большое разнообразие типов
- ••Было предложено большое число моделей, Обобщенныеописывающих взаимодействиемоделивидов, правые части
- ••В модель заложены следующие предположения:
- ••Рис. 9.6. Фазовые портреты системы Колмогорова (9.12), описывающей взаимодействие двух видов при разных
- ••Стационарные решения (их два или три) имеют следующие координаты:
- ••Величина С определяется из уравнений:
- •Модель•Модель, которую взаимодействиямы рассмотрим ниже, использовалась длядвухрешения практической задачи борьбы с вредными насекомыми
- ••Рис 9.7. Фазовый портрет модели (9.16) (MacArthur, 1971)
- ••Решение вопроса о том, каким образом обеспечить сосуществование популяции с ее биологическим окружением,
- ••Управление может сводиться к кратковременному, скачкообразному изменению величин численности х и у. Такой
- ••Рассмотрим одну из изученных в этой книге моделей типа хищник-
- ••Система (9.17) зависит от семи параметров. Число параметров можно уменьшить с помощью замены
- ••Для полного качественного исследования необходимо разбить четырехмерное пространство параметров на области с различным
- ••Рис. 9.8. Параметрический портрет системы (9.18) при фиксированных и малых
- ••Поведение системы при различных соотношениях параметров может быть существенно различным (рис.9.9). В системе
- ••Рис. 9.9. Набор фазовых портретов системы (9.18), возможных в конечной части первого квадранта
- ••На параметрическом портрете (9.7) имеются 22 различные бифуркационные границы, которые образуют 7 различных
- ••Особый интерес для практики представляет, конечно, выработка критериев близости системы к бифуркационным границам.
- ••Каждый тип бифуркационных переходов имеет свои отличительные особенности, позволяющие судить об опасности такого
- ••Итак, мы рассмотрели автономные непрерывные математические модели, описывающие взаимодействие двух видов. Сделаем некоторые
- ••Приложение Математическая модель изменения концентрации токсина
- •• Пусть VB (t)
- ••Математическая модель определения эффекта диализа
- ••Математическая модель определения диаметра отверстий мембраны для мочевины
- ••В дифференциальных уравнениях (4.36), (4.37) работы [4] количестваVC ,VE , DM , Dr
- ••Математическая модель лечения лекарствами
- ••Математическая модель лечения диабета
- ••Диабет вызван фактом, что гормональный инсулин произведен в недостаточном количестве в поджелудочной железе,
•Математическая модель лечения лекарствами
…
•Есть различные пути, которыми лекарства могут быть введены в организм. Лекарства могут быть введены в виде инъекций, вводимых внутримышечно или внутривенно. Также лекарства бывают в виде таблеток, которые, проходя через желудок, поглощаются через стены кишечников. В первом случае лекарство
прибывает непосредственно в ту часть тела, где это необходимо. Этот процесс
может быть смоделирован моделью c одним отделением. ui
• В модели с одним отделением предполагается, что лекарство дано в дозировках ui |
|||||||
|
ti |
i 0,..., N 1 |
t0 0 t1 ... tN 1 T |
. После |
|
||
в разное время |
, для |
|
с (t) |
чтоN |
|
||
администрации дозировки |
|
|
количество лекарства |
|
|||
|
|
ti t ti 1предполагается,i 0 ... N 1 |
t |
T |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
разлагается по экспоненте в пределахa(t ti ) |
временного интервала |
для |
|||||
|
(где |
(t) i e |
|
ti |
t ti 1. |
|
|
|
) согласно закону: |
|
|
|
|
||
для |
(2.29) |
|
|
|
|
|
|
• Это желательно, чтобы для интервала всего времени [0,T] определенный уровень лекарства был поддержан получается следующая ситуация,
ПРИМЕР |
|
ПРИМЕР |
… |
• Рисунок 1 – Временное изменение количества лекарства
•Математическая модель лечения диабета
•Диабет вызван фактом, что гормональный инсулин произведен в недостаточном количестве в поджелудочной железе, и поэтому нужно позаботиться о процессе, в котором глюкоза транспортируется от крови в соматические клетки или сохраняется в печени в форме гликогена. Это имеет такой эффект, что уровень глюкозы в крови становится слишком высоким и это может вызвать смертельную кому.
•Обозначим концентрацию глюкозы в крови во время t через G(t) и гормональную концентрацию через H(t). Тогда временное развитие G(t) и H(t)
может быть описано следующими. дифференциальными уравнениями:
G(t) f1 (G(t), H (t)) p(t),
.
(2H .t30)f2 (G(t), H (t))
•где p=p (t) обозначает увеличение концентрации глюкозы потреблением сахара.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
, две постоянные |
|||
• Предполагаем, что без потребления сахара, то есть, |
|
|
|
||||||||||||||||||
состояния0 |
величин,0 |
и |
|
станут равными: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
G |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
и |
f1 |
(G0 , H0 ) 0 |
|
f2 (G0 , H0 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(2.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
от 0 |
и |
и |
|||||||||
• Далее предполагаем, что G и H не сильно отличаются0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
H |
|
|
определяют функции различия: |
|
g(t) G(t) G0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
• |
|
|
|
|
|
(2.32) h(t) H (t) H0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
• Линеаризуя (2.30) получаем дифференциальные уравнения: |
|
||||||||||||||||||||
• |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2g(.t33) m1 g |
m2 h(t) p(t), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) m3h(t) m4 g(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
m |
|
f1 |
|
(G |
, H |
) 0, |
m |
2 |
|
f1 |
(G |
, H |
) 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
G |
0 |
0 |
|
|
|
|
H |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•ПРИМЕР |
m3 |
f2 |
|
(G0 , H0 ) 0, |
m4 |
f2 |
(G0 , H0 ) 0. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соседние файлы в предмете Математическое моделирование