Краткое содержание темы:

Задача каждой науки – вскрыть и изучить наиболее существенные связи между явлениями и процессами. Известны два вида связи между явлениями (признаками): функциональная и корреляционная. Функциональная связь отражает строгую зависимость процессов или явлений, и изменение какого-либо одного явления обязательно связано с изменением числовых значений другого явления на строго определенную величину. Функциональная связь, как правило, проявляется при физических и химических явлениях, где её можно представить в виде уравнения, формулы. Примером функциональной связи может являться увеличение объема шара в строгой зависимости от увеличения его радиуса, расширение тела по мере увеличения температуры нагревания и т.д. Корреляция – понятие, которое также означает взаимосвязь между признаками. При корреляционных связях, характерных для медико-биологических явлений, значению одного признака соответствуют разные значения других признаков. Корреляционная связь необходима, например, при оценке взаимосвязей между стажем работы и уровнем заболеваемости работающих; между разными уровнями физических факторов окружающей среды и состоянием здоровья; между различными уровнями интенсивности нагрузки и частотой (уровнем) физиологических реакций организма; между сроками госпитализации и частотой осложнений. Статистика позволяет исследователю измерить связи, обосновать выводы и наглядно их иллюстрировать. Корреляционная связь бывает положительной - прямой (при увеличении одного признака увеличивается другой) и отрицательной - обратной (при увеличении одного показателя другой уменьшается). Коэффициент корреляции свидетельствует не только о направлении связи, но и об уровне этой связи. Сильная связь выражается коэффициентом от 0,7 до 0,99, средняя — от 0,3 до 0,69, слабая — до 0,29. При нулевом значении коэффициента связи отсутствуют.

Наиболее простыми методом определения коэффициента корреляции являются ранговая корреляция: , где - коэффициент ранговой корреляции, d - разность рангов, n –число сопоставляемых пар признаков.

При ранговой корреляции числовые выражения сравниваемых статистических рядов ранжируют, то есть проставляют ранговые номера для каждой цифры (от 1 и далее) и подставляют значения в формулу с учетом разницы порядковых значений.

Рассмотрим технику вычисления коэффициента ранговой корреляции на примере изучения связи между стажем работы (х) и числом травм (у):

Стаж работы в годах	Число травм	Порядковые номера (ранги)		Разность рангов	Квадрат разности рангов
		X	Y	d(х-у)	d2
До 1 года	24	1	5	-4	16
1-2	16	2	4	-2	4
3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
5-6	12	4	2,5	+1,5	2,25
7 и более	6	5	1	+4	16
					Σ d2 = 38,5

Коэффициент ранговой корреляции составит:

Статистическая ошибка и критерий достоверности коэффициента корреляции вычисляются по формулам:

= 0.22, t = = 0,925/0,22= 4,2

Чтобы полученный коэффициент можно было считать достоверным, он должен превышать табличное значение (таблица значений критерия t по Н.А. Плохинскому) при числе степеней свободы n - 1. В нашем случае величина критерия t (4,2) значительно выше критического значения критерия t (2.7) для уровня значимости р = 0.05 и числа степеней свободы = n−1=4. Зависимость между стажем работы и числом травм по приведенным данным достоверно прослеживается. Вывод: поскольку коэффициент корреляции ρ = -0,925, корреляционная связь обратная, сильная, вероятность безошибочного прогноза выше 95%, следовательно, мы можем утверждать, что с увеличением стажа работы число травм у рабочих уменьшается.

При расчете коэффициента корреляции методом квадратов (метод Пирсона) сначала вычисляют среднее значение в каждом вариационном ряду сравниваемых групп. Затем находят отклонение каждой величины ряда от полученной средней. Для устранения отрицательных значений эти величины возводят в квадрат и подставляют в формулу: r_{xy =} , где d_x и d_y – отклонение каждой варианты от своей средней арифметической М_х и М_y.

По величине коэффициента устанавливают направление и силу связи. Достоверность коэффициента определяют по таблицам критических значений (таблицам Каминского) при числе степеней свободы n’ = n-2 (приложение, табл. 4), а также при расчете средней ошибки и критерия достоверности t. Коэффициент корреляции должен превышать свою ошибку не менее чем в 3 раза. Формула ошибки коэффициента ранговой корреляции: m = , t = По методу Пирсона ошибка коэффициента корреляции вычисляется по формуле: m_{r =} , t = . Значения t оценивается по таблице критических значений критерия t (при n<30, приложение, табл. 2).

Пример: определим направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью, если известны следующие данные

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)	dх	dу	dх × dу	dx2	dy2
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262	-16 -12 -9 +7 +14 +16	-114 -86 -66 +48 +98 +120	1824 1032 594 336 1372 1920	256 144 81 49 196 256	12996 7396 4356 2304 9604 14400
Мх=Σ х / n	Му=Σ у / n			Σdх×dу=7078	Σdх2=982	Σdy2=51056
Мх=120/6=20	Мy=852/6=142

1. Определить средние величины M_x ряду вариант "х" и М_у в ряду вариант "у" по формулам: М_х = Σх/n (графа 1) и М_у = Σу/n (графа 2).

2. Найти отклонение (d_х и d_у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у" d_х = V — М_х (графа 3) и d_y = V — М_у (графа 4).

3. Найти произведение отклонений d_x х d_y и суммировать их: Σ d_х х d_у (графа 5).

4. Каждое отклонение d_x и d_у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d_x² = 982 (графа 6) и Σ d_y² = 51056 (графа 7).

5. Определить произведение Σ d_x² х Σ d_y² и из этого произведения извлечь квадратный корень.

6. Полученные величины Σ (d_x x d_y) и √(Σd_x² x Σd_y²) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

7. Определить достоверность коэффициента корреляции:

1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr_xy) и критерий t по формулам:

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

2-й способ оценки достоверности коэффициента корреляции. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции, считающиеся достоверными (по Л.С. Каминскому)" (приложение, табл. 4). При числе степеней свободы (n — 2) = 6 – 2 = 4 наш расчетный коэффициент корреляции r_xу = + 0,99 больше табличного (r_табл = + 0,917 при р = 99%).

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р > 99,9%).