11. Ляпунов бойынша абж – ның орнықтылық. Гурвиц орнықтылығының алгебралық критериі.

Жоғарыда көрсетіп өткеніміздей барлық автоматиканың басқару жүйелері орнықты болуы қажет. Егер шектелген кіріс сигналында жүйе реакциясы шығыс сигнал ретінде де шектелген болса, онда АБЖ орнықты деп саналады. Көптеген автоматты басқару жүйелерінің теріс кері байланысы бар тұйықталған жүйесі болады. Осындай жүйелерде шығыс шама кері байланыс жүйесі арқылы кіріске беріледі, онда ол беруші әсермен салыстырылады. Осыдан өзінің функциясын қалыпты орындап жатқан жүйе, жүйенің орнықтылығы үшін сипатты жіберілетін ауытқуларын қамтамасыз ете отырып беруші және шығыс сигналдар арасындағы айырмашылығын жояды. Орнықсыз жүйелер үшін осы ауытқулар уақыт өткен сайын өсе бастайды. Тұйықталған АБЖ орнықтылыққа зерттеу барысында математикалық зерттеулердің ыңғайлылығына байланысты жүйенің еркін қозғалысы қарастырылады. Жүйенің еркін қозғалысы кіріс қоздырылған сигналдың берілуі және алынуынан кейінгі жүйенің қасиетімен анықталады. Орыс ғалымы Ляпунов А.М. механикалық жүйелер мысалында көрсеткендей, егер еркін қозғалыстағы жүйе орнықты болса, онда қозу әсер етіп тұрған жүйе де орнықты болып келеді. Бұл өлшем сипаттама теңдеуінің реті 5-тен жоғары емес болғанда қолданылады. Осы өлшемнің артықшылығы есепті шешудің қарапайымдылығында болып келеді. Гурвиц критерийін қолданудағы кемшілігі, АБЖ жеке алынған элементінің жалпы жүйе орнықтылығына әсер етуін анықтау мүмкіндік бермейтінінде болады. Мына сипаттама теңдеуімен берілген автоматты басқару жүйесіне Гурвиц критерийін қолданайық.

Жүйе орнықты болады, егер Гурвиц анықтауышы және оның барлық диагональ минорлары оң болған жағдайда, яғни

Гурвиц анықтауышы белгілі ереже бойынша құрылады, яғни диагональ бойымен коэффициенттерді -ден бастап кему ретімен орналастырады.

Содан, анықтауыш бағанын толтырады, жоғары диагональ элементтерін индекстерінің кему ретімен, ал төменгі диагональ элементтерін өсу ретімен орналастырады. Егер коэффициенттері болмаса, онда сәйкес элемент нөлге тең болады.

0 0 0

=

Әр диагональдағы минор, - ден бастап жоғары ретті минормен (мұнда болады) оң жақ бағанын және төменгі қатарды сызу жолымен табылады.

12. Найквистік жиіліктің орнықтылық критериі

Бұл критерийді АБЖ алгебралық немесе эксперименталды жиіліктік сипаттамалары берілген жағдайда және сипаттама теңдеуі жоғары ретті болған жағдайларда қолданады. Орнықтылықты бағалау үшін n 2 кезінде кешенді жазықтықта P( ), G( ) координатасымен немесе n > 2 полярлы жүйе координатасы кезінде тұйықталмаған жүйенің амплитуда фазалы жиіліктік сипаттамасы (АФЖС) тұрғызылады.

(j )=A( ) = P( )+ jG( ).

Мұндағы (j ) тұйықталмаған жүйенің (5.1 – мысал) беріліс функциясы ол кешенді беріліс W(s) функциясынан s айнымалысын jω-ға ауыстыру жолымен алады. A( ) , j( ) – сәйкесінше амплитудалы және фазалы жиіліктік сипаттамалары. P( ), G( )-жиіліктік сипаттаманың нақты және жорамал бөліктері. 0-ден -ке дейінгі аралықта ω-ға мәндер бере отырып кешендік жазықтықта нүктелерді табады және АФЖС жиіліктік сипаттамасын тұрғызады.

5.3 - сурет. Орнықты және орнықсыз АБЖ АФЖС