Михайлов критериі.
Михайлов критерийі бойынша орнықтылық анализі үшін шығыс болып
АБЖ толық тұйықталған сипаттамасы саналады
A(s)= ansn + an-1sn-1 +...+ a0 .
Егер A(s)полиномына тек жорамал мәндерді s = j қойсақ, онда келесі түрдегі кешенді полиномды аламыз:
D(j
)=
+
+….+
=X(
)+jY(
)=
Мұндағы
X(
)=
Y(
)=
- сәйкес Михайловтың нақты және жорамал функциялары.
жиілігінің
өзгерісі
кезінде
D(j
)
векторы
бағыты
және
шамасы
бойынша
өзгере
отырып,
оның
ұшымен
қисық
сызылады,
оны
Михайлов
қисығы
(годографы)
деп
атайды.
Сызықты
жүйе
орнықты
болу
үшін
жиілігі
0-ден
дейін
өзгерісі
кезінде
D(j
)
векторы
ешбір
жерде
нөлге
айналмай,
координата
басы
айналасында
сағат
тіліне
қарсы
бұрышқа
бұрылса,
(мұндағы
n
-
сипаттама
теңдеуінің
дәрежесі),
онда
орнықтылық
шарт осы
жеткілікті
және
қажетті.
: Михайлов
годографы
жиілігі
0-ден
дейін
өзгергенде,
=0
оң
жақты
жарты
остен
басталып
кешенді
жазықтықтың
n
квадранттар
санын
сағат
тілінің
бағытына
қарсы
кезектеп
өтсе,
n
-
сипаттама
теңдеуінің
дәрежесі,
онда
ол
сызықты
жүйе
орнықты
болуы
үшін
қажетті
және
жеткілікті
шарты
болады.
Орнықты жүйелер үшін Михайлов қисығы спираль тәріздес түрге ие және де оның ұшы сипаттама теңдеуінің дәрежесіне тең координата жазықтығының квадрантында шексіздікке ұмтылады. 5.2 а – суретте бірінші реттен (n=1) бастап және бесінші ретті (n =5) теңдеулермен сипатталатын орнықты жүйелер үшін Михайлов қисықтары көрсетілген. Салыстыру ыңғайлы болуы үшін барлық жағдайда an коэффициенттерін бірдей аламыз. 5.2,б – суретте орнықсыз жүйелердің Михайлов қисығы көрсетілген. 5.2,в – суретте орнықтылық шекарасында орналасқан жүйелердің Михайлов қисығы көрсетілген.
а) б) в)
5.2 - сурет. Михайлов годографтарының түрлі мысалдары
Михайлов критерийі жоғары тәртіпті АБЖ үшін қолдануға ыңғайлы, мысалы, n = 6, 8, 10 кезінде.
Боде диаграммасы бойынша орнықтылық анализі.
АБЖ орнықтылығын талдау Найквист критерийі бойынша кейбір жағдайларда Боде диаграммасын құру әдісімен соның ішінде ЛАЖС (3.10) көмегімен
L( )=20 lg A( )
және фазалы жиіліктік сипаттамасымен (3.9)
( )=arctg
жүргізу ыңғайлы. Осы жағдайда орнықтылық критерийі келесідей тұжырымдалады: егер жиіліктік сипаттамасы π мәніне жеткен кезде ЛАЖС теріс болса, тұйықталған минималды фазалы жүйе орнықты болады. Минималды фазалы жүйе деп БФ өрнегіндегі алымының реті бөлімінің ретінен төмен және нөлдері оң жақ жарты жазықтықта орналасқан жүйені айтады. ЛАЖС мен ω осінің қиылысуы кескін қиылысуымен ωк сипатталады.
5.4 - сурет. Орнықтылықты талдау үшін арналған Боде қисығы
5.4,
a
–
суретте φ
= – π
кезінде ЛАЖС ординатасы теріс мәнге ие
және бұл жүйенің орнықтылығына сәйкес
келеді. ЛАЖС терістігі
(
)=
кезінде АФЖС тұйықталған жүйесі (–1,
j0)
нүктесін қамтитынын көрсетеді.
5.4, b – суретте φ = –π кезінде ЛАЖС ω осімен қиылысқан кездегі сәйкес келетін шектік шартты графигі көрсетілген.
5.4, с – суретте АБЖ күйінің орнықсыз жағдайы көрсетілген. Мұнда φ
= –π болған кезде кескін жиілігіне сәкес ЛАЖС ординатасы оң.