Шредингер теңдеулері. Шредингердің толқындық теңдеулері.

Электронмен салыстырғандағы толқындар үшін теңдеуді алайық. Толқындық өріс t уақыттың скаляр функциясы мен бақылау нүктелердің r=(x,y,z) координатасымен сипатталады деген қарапайым гипотезаны қабылдайық. Дәстүр бойынша бұл функция ψ(t¸r) деп белгіленіп, толқындық функция деп аталады. Ең алдымен монохромат толқынның дербес жағдайын қарастырайық:

Бұл курста m массалы еркін бөлшектің E энергиясы p импульсімен төмендегі қатынас арқылы байланысты болатын релятивистік емес теориясымен шектелеміз

Бұл өрнек Де Бройль толқын жиілігінің k толқындық вектордан (дисперсия заңы) тәуелділігін береді:

Монохромат толқын үшін мына өрнек алынады,

дисперсия заңын тіркеу толқындық функция үшін жазылған дифференциалдық теңдеуге әкеледі

Бұл теңдеу 1926 ж. еркін бөлшектер үшін алынған Шредингер (E. Schrodinger) теңдеуі деп аталады. Теңдеу сызықтығының нәтижесінде (параболалық тип) монохромат толқындарының еркін суперпозициясы үшін:

Жоғарыда келтірілген теңдеу бізге жалпы шешімді береді.Шредингер теңдеуімен классикалық механика теңдеуінің арасындағықатысты сұрақ туындайды. Монохромат толқындардың фазасы еркін бөлшек үшін жазылған Гамильтон-Якоби (ГЯ) теңдеуінің S(t,r)шешімімен байланысты екенін ескеру қажет

Ал толқындық функцияның өзі S арқылы мына түрде өрнектеледі

Бұл өрнекті Шредингер теңдеуіне қойып S үшін мына теңдеуді аламыз,

Бұл теңдеу Гамильтон-Якоби ħ Планк тұрақтысы мен пропорционал және Шредингер теңдеуімен эквивалент болатын қосымша қосындымен ерекшеленеді. Дербес жағдайда, S – r сызықтық функция болғанда бұл қосынды нольге айналады. Шредингер теңдеуі үшін жалпы жағдайда, S үшін ħ→0 шегінде Гамильтон-Якоби теңдеуіне ауысады. U(t,r) потенциалды күш өрісінде қозғалатын бөлшектерге Шредингер теңдеулерін табу үшін Шредингер теңдеулерімен Гамильтон-Якоби теңдеуінің арасында орнатылған байланысты қолданайық. Гамильтон-Якобидің классикалық теңдеуін жазайық:

Жаңа функцияға көшейік. Ол үшін мына өрнекті алайық:

S үшін Гамильтон-Якоби теңдеуінің күшінде ψ функциясы сызықты емес теңдеуді қанағаттандырады. Бірақ интерференция мен дифракция құбылысын түсіндіру үшін суперпозиция принципін қолданған жөн. Сондықтан, ψ үшін жазылған теңдеу сызықты болу керек. Ол Гамильтон-Якоби теңдеудің кванттық қорытындысынан шығады:

Және мына түрде жазылады:

Бұл өрнек потенциалдық өрістегі бөлшек үшін Шредингер теңдеуі. Ĥ енгізілген сызықтық оператор Гамильтон операторы немесе гамильтонианы деп аталады. Сызықты Шредингер теңдеуі Гамильтон-Якоби теңдеудің кванттық сызықты емес теңдеуіне эквивалентті, жалпы жағдайда ψ сияқты S- комплекс мәнді функциялар. Гамильтон-Якоби теңдеудің кванттық шарты кезінде классикалық теңдеуге ауысады:

Бұл шамалауда импульсі үшін классикалық өрнекті қолдану мүмкін. Онда:

немесе

Яғни импульс өзгерісі толқынның дебройльдық толқын ұзындығы аз болу керек. Бірөлшемді жағдайда қарапайым шартқа ие боламыз:

Яғни λ – x координатасы өзгерген кезде баяу өзгеру керек. мына шарт орындалса, онда энергияның сақталу заңы орындалады:

Бұдан

мұндағы F – ньютондық күш. Гамильтона-Якобидің классикалық теңдеуін қолдану шарты стационар жағдайда мына түрде болады:

Яғни, толқынның дебройльдық толқындық ұзындығындағы күштің жұмысы бөлшектің кинетикалық энергиясымен салыстырғанда аз болуы қажет. Бұл шарт x=x₀, бұрылу нәтижесінде бұзылады, мұндағы p(x₀)=0, сәйкесінше,

Әдебиеттер: негізгі [1-12], қосымша [1-5].

Тақырып №4. Бақылаушылар мен операторлар. Суперпозиция принципі.

1. Бақылаушылар мен операторлар.

2. Суперпозиция принципі.