"Уақыт - энергия" анықталмағандықтар қатынасы
Анықталмағандық қатынастың жалпы формуласына қойсақ,
Мына қатынасты ескерсек,
аламыз
Бақыланушы өзгерісінің сипаттамалы уақытын енгізейік:
Онда мынаны аламыз
мұндағы
.
Барлық мүмкін бақыланушылар үшін
көптеген
мәндер төменде шектелген. Жүйенің даму
процесіндегі бақыланушылардың біреуінің
таралуының өзгеріс уақытын анықтайық:
Онда ψ –дің кез-келген күйі үшін "уақыт-энергия" анықталмағандық қатынасы деп аталатын қатынасы дәл келеді.
Мұндағы
-уақыттан тәуелсіз (
болғанда) ψ күйіндегі энергияның
анықталмағандығы. "Уақыт - энергия"
анықталмағандықтың қатынасы сапа
жағынан жоғарыда қарастырылған толқындық
пакеттің даму талдауынан алынуы мүмкін:
пакеттегі жиіліктің таралуымен оның
жайлуыға кеткен сипаттамалық уақыты
шартымен байланысты
екенін ескерсек,
аламыз.
Әдебиеттер: негізгі [1-12], қосымша [1-5].
Тақырып №8. Гармониялық осциллятор. Классикалық механикадағы осциллятор. Осциллятордың стационарлық күйі.
Гармониялық осциллятор.
Классикалық механикадағы осциллятор.
Осциллятордың стационарлық күйі.
Гармониялық осциллятор
Классикалық механикадағы гармониялық осциллятор деп гамильтонианмен сипатталатын жүйе аталады.
Қозғалыс теңдеуі
мынадай жалпы шешімге ие болады.
мұндағы А және θ-еркін тұрақтылар. Олар х=0 теңесу жағдайының маңайындағы бөлшектің гармоникалық тербелістерін сипаттайды. Осциллятор энергиясы-қозғалыс интегралы:
Бұл
еркін теріс емес мәндерді қабылдайды.
Гармониялық осцилляторға потенциал
нүктесінде
локальды минимумға ие болатын шартта
ғана
потенциалдық өрістегі бөлшек қозғалысы
жөніндегі есептер жатады.
жаңа
координатаны енгізе отырып және
белгілеп,
х бойынша таралудың жоғарғы мүшелерін
ескермейтіндей етіп, бөлшек энергиясы
Е
-
ға
жақын болатын шарты кезінде ГО потенциалын
аламыз. Бұл кезде үнемі
-ды
энергия есебінің басқысын таңдау
қаталдығының қорытындысына қоюға
болады. ГО-молекуладағы,қатты денелердегі
атом тербелістерін,атомды ядро беттерінің
тербелісін сипаттайтын қарапайым үлгі.
Бірақ, мұндай есептер үшін классикалық
теория қолданылмайды.
Осциллятордың стационар күйі.
Кванттық механикада Гамильтон операторға жауап береді.
Координаттық
бейнені қолданып,
Гамильтон
операторының стационар жағдайын
қарастырайық:
Шредингердің
стационар теңдеуі мына түрде болады.
Өлшемсіз координата мен параметр енгізген ыңғайлы:
мұндағы сипаттамалы ұзындық
Онда мына теңдеуді аламыз:
кезіндегі
шешім
асимптотасын табайық.
Классикалық
механикадағы финитті қозғалысқа сәйкес
келетін
шартының
орындалуын талап етейік
:
мұнда
v
-
бойынша соңғы реттің полиномы.
үшін төмендегі теңдеуді аламыз
Оның шешімін дәрежелік рет түрінде іздейміз
Қатарды теңдеуге қойып,суммалау индексіне ауыстырулар жасайтын болсақ
Бұдан қатар коэффициенттері үшін рекурентті қатынас шығады :
Қатар төмендегі шарт кезінде ғана полиномға айналады
осциллятор
энергиясы квантталған болуы керек:
Төмендегі өрнекті ескеру қажет
Классикалық
теорияда
.
Бұл
Планктың кванттау постулатына сәйкес
екенін ескерейік.
меншікті
функцияларды қарастырайық. Жоғарыда
алынған рекуррентті қатынас
дәрежелерінде бірдей жұп коэффицентін
байланыстырады. Бұл кездейсоқ емес: ГО
гамильтонианы х-тің жұп функциясы.
Н(-х)=H(x). Сондықтан,
және
Бір ғана меншікті мәнге ие болады, бірақ
бірөлшемді күйде
еркін функцияны жұп және тақ функцияларының
суммасы түрінде көруге болады.
Нәтиже бойынша, меншікті функциялар оның жұп болуы керек. Формальды түрде Р жұп операторының бар екенін білдіреді.
Бұл
оператор [
]=0
галмильтониан
мен комутацияланады.
Қарастырылып
отырған жағдайда ГО-ң рекуррентті
қатынастардан
жұптығы
n жұбымен сәйкес келетіні шығады.
С0
екенін
біліп, жұп меншікті функцияларды,
Гамильтон операторының стационар
күйінің нормаланған толқындық функциялары
төмендегі түрде болады.
Мұнда эрмит полиномы енгізілген:
Дербес жағдайда
Енді, осциллятордың Е0, энергиясының нөлдік емес, минимал меншікті мәндері анықталмағандық қатынастан шығатынын көрсетейік. Стационар жағдайларда <x>=0 <px>=0 толқындық функцияның жұптылығының және анықтық қатынас күшінде мына түрінде болады.
Сондықтан, мұндай жағдайлардағы энергия үшін:
f функциясының минимум шарты мынаны береді:
Нәтижесінде
Гамильтон
операторы кристал торындағы атомдардың
тербелісін үлгілейді. Кванттық меншіктің
негізгі қортындысы.
энергиясы
осциллятордың төменгі температурадағы
кристалдардағы рентгендік сәулеленудің
ыдырауы бойынша эксперименттерді
растайды. Тордың тербелісі жоқ болғанда,
ыдырау болмас еді, бірақ эксперимент
оны тапты. Бұл кезде нәтиженің нольдік
температураға экстраполяциясы ыдырау
интенсивтілігінің шеткі мәні бар екенін
көрсетті.
Әдебиеттер: негізгі [1-12], қосымша [1-5].
Тақырып №9. Гармониялық осциллятор алгебрасы.
Гармониялық осциллятор алгебрасы.
Гамильтон оператор гамильтонианының спектр және меншікті векторларын бақыланушыларының алгебрасы мен жағдайдың гильбертті кеңістігінің жалпы қасиеттерін пайдаланып табуға болады.
мұнда
жоғарыда көрсетілгендей
өлшемсіз
Гамильтонианды факторизацияланған
түрде есептейік.
Эмиртті түрдес операторларды еңгізейік:
Мұнда
негізгі коммутатор
теңдігі ескерілген.
Нәтижесінде Гамильтон операторы гамильтонианның факторизацияланған бейнесін аламыз:
Есеп
спектрін және төмендегі эрмиттік
оператордың
өлшемінсіз меншікті векторды табуға
бағытталған
Сонымен,
Бұдан алатынымыз
Ең
аз
меншікті
мәнге мына теңдеуді қанағаттандыратын
векторы жауап береді.
Енді
Немесе 
Бұл коммутаторды қолдансақ:
бұдан
Ізінше,
Өлшемсіз меншікті векторды аламыз:
векторына â операторымен k рет әсер етсек, өлшемсіз меншікті векторды аламыз
екенін
дәлелдедік.Сондықтан процедура
меншікті векторды алу үшін үзілуі
қажет.Бұл төмендегі жағдай кезінде
ғана мүмкін 
Нәтижесінде ГО энергия спектрін аламыз:
Енді меншікті векторлар вектор бойынша құрылуы мүмкін. Төмендегі коммутаторды қолдансақ:
Нәтижесінде
Ендеше 
Енді
нәтижесінде
Алынған формулаларды координаттық бейнеде ГО толқындық функция үшін өрнектердің қорытындысы үшін қолданайық.Онда
Негізгі жағдайдың толқындық функциясын анықтау үшін қарапайым теңдеу аламыз.
Оның
шешімі
Өлшемсіз коэффициенті мына шарттан анықтаймыз
Бұдан (сәйкес фазалық көбейткішті таңдап)
n>0 номерлі жағдайдың толқындық функциясын жалпы формуладан табамыз:
Енді оңай тексерілетін операторлы тепе-теңдікті қолданамыз:
бұдан
Нәтижесінде соңғы түрдегі осцилятордың толқындық функцияны аламыз
Әдебиеттер:
негізгі [1-12], қосымша [1-5].
Тақырып №10. Импульс моментінің операторы.
Импульс моментінің операторы. Коммутациялық қатынастар.
Момент квадратының операторлар спектрі және осьтегі момент проекциясы