Последовательность расчёта:

1. Вычертить схему заданной механической системы.

2. Применить теорему об изменении кинетической энергии системы: Т – Т_о = + .

Т_о – кинетическая энергия системы в начальном положении. Так как в начальный момент времени система находится в покое Т_о = 0;

Т - кинетическая энергия системы в конечном положении;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе не перемещениях системы из начального положения в конечное положение;

- сумма работ внутренних сил на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями, =0.

Следовательно, уравнение примет вид: Т = .

3. Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изобразить систему в конечном положении.

4. Написать кинематическое соотношение между скоростями и перемещениями точек системы, то есть выразить скорости и перемещения тел через скорость и перемещение тела 1.

5. Вычислить кинетическую энергию системы в конечном положении, как сумму кинетических энергий всех тел: Т = ΣТ_i .

6. Вычертить схему системы с приложенными к ней внешними силами.

7. Найти сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

8. Используя теорему об изменении кинетической энергии, вычислить скорость, которую приобретает тело 1.

Пример расчёта

Определить скорость, которую приобретает тело 1, начинающее движение из состояния покоя и проделавшее путь S = 2м. Массы всех тел приять равными.

f – коэффициент трения скольжения,

d₂ и d₄ - коэффициенты трения качения,

m – масса тел,

ρ₃ – радиус инерции блока 3.

• Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Т - Т_о = + ; Т_о = 0; = 0;

Следовательно, Т = .

• Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изображаем систему в конечном положении.

• Устанавливаем кинематическое соотношение между скоростями и перемещениями точек системы, выражая скорости и перемещения тел через скорость и перемещение тела 1.

примем: R₃ = 0,4 м = R; тогда r₃ = 0,2 м = 0,5 ∙ R; R₄ = 0,2 м = R; R₂ = 0,3 м = 0,75 ∙ R;

• примем: V₁ = V; так как нити нерастяжимы, то V₂ = V₁ = V, V_А = V₂ = V; V_В = 0,5 ∙ V_А = 0.5 V; V₄ = V_В = 0,5 ∙ V

V₂ = ω₂ ∙ R₂ ; V₂ = V; R₂= 0.75 ∙ R; ω₂ = = 1,333 ∙ ;

V₃ = ω₃ ∙ R₃ ; V₃ = V; R₃ = R; ω₃ = ;

V₄ = ω₄ ∙ R₄; V₄ = 0,5 ∙ V; R₄ = 0,5 ∙ R; ω₄ = ;

• примем S₁ = S; так как нити нерастяжимы, то S₂ = S₁ = S_A = S₃ = S;

S₂ = φ₂ ∙ R₂; R₂ = 0,75 ∙R; S₂ = S; φ₂ = = 1,333 ∙ ;

S₃ = φ₃ ∙ R₃; R₃ = R; S₃ = S; φ₃ = ;

S_B = φ₃ ∙ r₃; r₃ = 0,5 ∙ R₃ = 0,5 ∙ R; S_B = ∙ 0.5 ∙ R = 0,5 ∙ S ;

так как нити нерастяжимы, то S₄ = S_B = 0.5 ∙ S.

S₄ = φ₄ ∙ R₄; R₄ = 0,5 ∙ R; φ₄ = ;

• Вычисляем кинетическую энергию системы в конечном положении, как сумму кинетических энергий всех тел: Т = ΣТ_i .

Т₁ = ∙ m₁ ∙ V₁² = ∙ m ∙ V ² = 0,5 ∙ m ∙ V ² ;

Т₂ = ∙ m₂ ∙ V₂² + ∙ I₂ ∙ ω₂² = ∙ m ∙ V ² + ∙ 0,28 ∙ m ∙ R² ∙ (1,33 ∙ )² = 0,75 ∙ m ∙ V ²;

I₂ = ∙ m₂ ∙ R₂² = ∙ m ∙ (0,75 ∙ R)² = 0,28 ∙ m ∙ R²;

Т₃ = ∙ I₃ ∙ ω₃² = ∙ 0,5625 ∙ m ∙ R² ∙ ( )² = 0,28 ∙ m ∙ V ²;

I₃ = m₃ ∙ ρ₃² = m ∙ (0,75 ∙ R)² = 0.5625 ∙ m ∙ R² ;

(ρ₃ = 0,3 м = 0,75 ∙ R);

Т₄ = ∙ m₄ ∙ V₄² + ∙ I₄ ∙ ω₄² = ∙ m ∙ (0,5 ∙ V)² + ∙ 0,125 ∙ m ∙ R² ∙ ( )² = 0,1875 ∙ m ∙ V ²;

I₄ = ∙ m₄ ∙ R₄² = ∙ m ∙ (0,5 ∙ R)² = 0.125 ∙ m ∙ R²;

T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ = 0,5 ∙ m ∙V ² + 0,75 ∙ m ∙ V ² + 0,28 ∙ m ∙ V ² + 0,1875 ∙ m ∙ V ²

T = 1,72 ∙ m ∙ V ²

• Чертим схему системы с приложенными к ней внешними силами.

Так как по условию m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = m , то G₁ = G₂ = G₃ = G₄ = G;

• Определяем сумму работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном её перемещении.

Работа сил сцепления F_{cц 2} и F_{cц 4} равна нулю, так как эти силы приложены в неподвижных точках (мгновенных центрах скоростей тел 2 и 4).

ΣА = А_1тс + А_2тк + А_4тк + А_4G .

Работа силы трения скольжения тела 1: (R = 0,4 м, S = 2 м)

А_1тс = – F_1тс ∙ f ∙ S = – G ∙ f ∙ S = – 0.2 ∙ 2 ∙ G = – 0,4 ∙ G;

Работа пары сил сопротивления качению катка 2:

А_2тк = – М_2тк ∙ φ₂ = – N₂ ∙ d₂ ∙ φ₂ = – G ∙ 0,001 ∙ 1,333 ∙ =

– 0,0013 ∙ G ∙ ∙ ;

А_2тк = – 0,0067 ∙ G;

Работа пары сил сопротивления качению катка 4:

А_4тк = – М_4тк ∙ φ₄ = – N₄ ∙ d₄ ∙ φ₄= – G ∙ cos45^o ∙ 0,002 ∙ =

– G ∙ 0,707 ∙ 0,002 ∙ ;

А_4тк = – 0.0071 ∙ G;

Работа силы тяжести катка 4:

А_4G = – G ∙ cos45^o ∙ S₄ = – G ∙ 0,707 ∙ 0.5∙ S = – 0,707 ∙ 0,5 ∙ 2 ∙ G =

– 0,707 ∙ G;

А = – 0,4 ∙ G – 0,0067 ∙ G – 0,0071 ∙ G – 0,707 ∙ G = 1,121 ∙ G =

1,121 ∙ m ∙ g = 11 ∙ m ;

• Используя теорему об изменении кинетической энергии, определяем скорость, которую приобретает тело 1: 1,72 ∙ m ∙ V ² = – 11 ∙ m;

V = 2,53