3.2. Структурные средние.

Используются в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения.

Мода (Мо) – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной совокупности).

Для дискретных вариационных рядов модой является значение варианты с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Всего
Число студентов	20	80	90	110	130	170	90	60	750
Накопленные частоты	20	100	190	300	430

Рассчитаем моду и медиану. В этом ряду распределения мода равна 22, т.к. к этой возрастной группе относится наибольшее число студентов (170).

Для определения медианы нужно подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 750, ее половина – 375. Значение признака, при котором накопленная сумма частот превысила половину, равна 21. Таким образом, медианный возраст студентов равен 21.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется следующим образом:

В случае равных интервалов:

;

В случае неравных интервалов:

;

где - нижняя граница интервала, в котором находится мода;

- число элементов в этом интервале;

, - число элементов в соседних интервалах;

- длина модального интервала;

, - длина соседних интервалов.

Медиана рассчитывается по формуле:

где - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

- длина медианного интервала;

- число элементов в этом интервале;

- сумма накопленных частот до начала медианного интервала.

Пример. Найти моду и медиану для группированной выборки.

Распределение магазинов по размеру товарооборота:

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов	Накопленные частоты
До 200	12	12
200-300	14	26
300-400	18	44
400-500	23	67
500-600	15	82
600-700	7	89
700-800	6	95
Свыше 800	5	100
Всего:	100	-

1) Для вычисления моды определяем модальный интервал. В нашем примере наибольшая частота равна 23, следовательно, модальным является интервал [400-500].

тыс. руб.

2) Для установления медианного интервала необходимо определить накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот (в нашем примере 50). Медианным также является интервал [400-500]. Определим теперь медиану:

тыс. руб.

Таким образом, в качестве обобщенной характеристики значений определенного признака у единиц ранжированной совокупности могут быть использованы средняя арифметическая, мода и медиана. Каждая из них имеет свои особенности.

Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, для которой характерно то, что все отклонения от нее (положительные и отрицательные) в сумме равняются нулю; для медианы характерно, что сумма отклонений от нее по модулю является минимальной, а мода представляет собой значение признака, которое наиболее часто встречается. Поэтому в зависимости от цели исследования распределения должна выбираться одна из упомянутых характеристик, либо же для сравнения – все три.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем больше асимметричен ряд. Для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней, т.е.:

Мо-  = 3 Ме- 

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис.1). Медиана рассчитывается по кумуляте (рис.2). Для ее определения их точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рис.2. Графическое определение медианы по кумуляте.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q₃), отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁и Q₂; 25% - между Q₂и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

;

,

где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25% объема совокупности);

- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75% объема совокупности);

- длина интервала, содержащего нижний квартиль;

- длина интервала, содержащего верхний квартиль;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля.

Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным предыдущего примера. Нижний квартиль находится в интервале [200-300], накопленная частота которого равна 26 (>25%). Верхний квартиль лежит в интервале [500-600] с накопленной частотой 82. С учетом этого получим:

тыс. руб.

тыс. руб.

Кроме квартилей в вариационных рядах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль (d₁) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d₂) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

Вычисляются они по той же схеме, что медиана и квартили:

;

и т. д.

Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями. Эта характеристика применяется лишь при необходимости подробного изучения структуры вариационного ряда. Схема вычисления та же.

Соотношение медианы, квартилей, децилей и перцентилей:

Использование в анализе вариационных рядов распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.