4.3 Сложение гармонических колебаний

Пусть на точку действует несколько различных упругих сил. Каждая из этих сил заставляет точку совершать гармоническое колебательное движение.

x = x₁ + x₂ = A₁cos (wt + φ₁₀) + A₂cos (wt + φ₂₀)

Поскольку x₁ и x₂ периодические функции с периодом T, то и их сумма представляет собой периодическое колебательное движение с тем же самым периодом T.

Рисунок 2

угол φ₀ = φ₂ – φ₁ = (wt + φ₂₀ ) – (wt + φ₁₀) = φ₂₀ - φ₁₀

x = A cosφ = A cos(wt + φ₀)

tgφ₀ = y₁₀ + y₂₀ / x₁₀ + x₂₀ = A₁ sinφ₁₀ + A₂ sinφ₂₀/A₁cosφ₁₀ + A₂cosφ₂₀

A² = |A₁ + A₂|² = A₁²+ A₂² + 2A₁ A₂cos(φ₂ – φ₁) = A ₁²+ A₂² + 2A₁ A₂cos(φ₂₀ – φ₁₀)

Это условие одновременно является условием сложения интенсивностей двух колебаний, т.е. при определенных φ₂₀ и φ₁₀cos(φ₂₀ – φ₁₀) может достигнуть ±1.

При сложении колебаний с разными частотами w, результирующие колебание имеет более сложный вид. Для примера рассмотрим сложение двух колебаний с измерительными частотами и равными амплитудами.

x₁ = A cosw₁t ,

x₂ = A cosw₂t , φ₂₀, φ₁₀ = 0

x = x₁ + x₂ = A[ cosw₁t + cosw₂t] = 2A cos((w₁ + w₂ / 2) t) cos((w₁ - w₂ / 2)

Если периоды и частоты обоих исходных колебаний соизмеримы, т.е. можно найти два таких целых числа n₁ и n₂, чтоT₂ / T₁ = w₁ / w₂ = n₁ / n₂

То через промежуток времени τ = (n₁ - n₂) 2π / w₁-w₂ = (n₁ + n₂) 2π / w₁+w₂, аргументы обоих сомножителей в изменяется на целое (хотя и различное) число раз 2π и их произведение примет то же значение, что и в начале промежутка. Величина τ тогда является периодом результирующего колебания. Если же частоты обоих колебаний несоизмеримы, то результирующее колебание будет непериодическим.

4.4 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотримx = Acos(wt + φ₁₀); y = Bcos(wt + φ₂₀ ), предположим φ₁₀, φ ₂₀ = 0 и поделим эти уравненияx / y = A / B → y = (B / A)x - уравнение р=прямой.

Если φ ₂₀ = φ₁₀ + π то cos меняет знак иy = - (B / A)x

Пустьφ ₂₀ = φ₁₀ + π/2; x / A = cos(wt + φ₁₀); y / B = cos[(wt + φ₁₀) + π/2] = sin(wt + φ₁₀) Возводя полученное в квадрат и складывая x² / A² + y² / B² = cos²(wt + φ₁₀) + sin²(wt + φ₁₀)

Рисунок 3

Или x² / A² + y² / B² = 1 – это уравнение эллипса.

При A = B – окружность. При произвольных φ₁₀ и φ₂₀ будет эллипс, нос наклоном.

4.5 Сложение двух одинаково направленных колебаний одинаковой амплитуды с мало отличающимися частотами

В этом случае разность фаз переменная. Примем за начало отсчета момент времени, когда она равна нулю (φ₀₁-φ₀₂). Уравнения слагаемых колебаний имеют вид:

; .

Смещение результирующего колебания равно

.

Применяя тригонометрическую формулу преобразования суммы синусов получим

.

Такое колебание не является гармоническим. Амплитуда медленно периодически изменяется во времени (круговая частота амплитуды мала, а период большой). Такие колебания называются биениями. Сначала фазы колебаний одинаковы. Затем одно из колебаний постепенно отстает по фазе от другого, и амплитуда результирующего колебания уменьшается до нуля при разности фаз π.