4. Случайная величина. Закон распределения. Биномиальный закон распределения.

5. Числовые характеристики дискретной случайной величины (мат. Ожидание, дисперсия, ср. Квадратичное отклонение).

6. Непрерывная случайная величина. Функция распределения F(x) (определена и для дискретной, и для непрерывной случайно величины). Функция плотности распределения f(x) (для непрерывной случайной величины).

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина X, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде:

F(x)= , где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая, что

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Свойства функции распределения.

1.  .

Доказательство: Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно, .

2.Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство:Пусть х₁<x₂. Докажем, чтоF(x₁) F(x₂). Пусть событие А=(Х<x₁),B=(x₁ Х<x₂). Тогда А+В=(Х<x₂). События А и В несовместны, следовательно по теореме сложения Р(А+В)=P(А)+P(В). То есть Р(Х<x₂) =Р(Х<x₁)+Р(x₁ Х<x₂). Другими словамиF(x₂)=F(x₁)+ Р(x₁ Х<x₂).(3)

Так как Р(x₁ Х<x₂) как вероятность невозможного события Х . как вероятность достовероного события Х .

4. Р(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁).(4)

Доказательство: это непосредственно следует из формулы (3).

Пример:  Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 5).

Решение: По формуле Р(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁).(4)

Р(2 Х<5)=F(5)-F(2)=1-2/3=1/3.(4).

Ответ :1/3.

Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры.

если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения непрерывной случайной величины   определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:

 – вероятность того, что случайная величина   примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная  , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением   функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах  . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения.

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например: однако в точках «стыка» всё хорошо: и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!