9. Формула Муавра-Лапласа.

Формула Муавра-Лапласа

При достаточно больших значениях n биноминальное распределение ведет себя как нормальное.

Биноминальное распределение: B(n;p), q=1-p, MX=np, DX= pnq, σ=√(npq)

Нормальное распределение: N (μ;σ)

При условии: n ≥ 90; DX>9

B (n;p) ≈ N (np; √npq)

Пример:

Вероятность того, что на кубике выпадет 6.

р=1/6; q=5/6; n=120;

MX=n*p=20;

DX=n*p*q=16,7

P(20≤B≤30)= p(20≤N≤30)= p(((20-20)/4,1)≤N≤(10/4,1))= p(0≤N≤2,4)= Ф₀(2,4)=0,4918

Значение для Ф₀ смотрим в таблице

10. Двумерная случайная величина.

Случайная величина – числовая функция, зависящая от случайного события.

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин (X, Y), для которой определена вероятность P[(X<x), (Y<y)] совместного выполнения неравенств X<x и Y<y, где x и y - любые действительные числа.

Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p(Х = xi; Y = yj). Дискретная двумерная случайная величина (X, Y) считается заданной, если известен ее закон распределения: P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2...,n, j=1,2...,m Ф ункция распределения для двумерной случайной величины: F(x,y)=p{(X<x), (Y<y)}, для дискретной Двумерную случайную величину можно задавать таблицей, как и одномерную (вероятности X по горизонтали, Y по вертикали). Для непрерывных величин (видимо): Матожидание для двумерной случайной величины – это совокупность матожиданий.

Дисперсия

Корреляционный момент и коэффициент корреляции (ковариация?)

11. Корреляция между случайными величинами. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Среднеквадратичным отклонением называется величина, равная квадратному корню из дисперсии случайной величины

Пусть — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда корреляцией случайных величин и называется выражение следующего вида:

, где —

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Коэффициентом корреляции г_ху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих

величин: r_xy= µ_xy/σ_xσ_y

Статистика

1. Выборка. Вариационный ряд. Таблица частот. Интервальная таблица частот.

Генеральная совокупность – полная совокупность объектов, имеющих отношение к изучаемой проблеме.

Выборка или выборочная совокупность — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.(n- объем выборки – число независимых испытаний).

Вариационный ряд — последовательность значений заданной выборки  , расположенных в порядке неубывания:

x_max -x_min = размах выборки

Частота n_{i –} количество появлений x_i в выборке. (всегда целое число)

Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду.

Полученные результаты сводят в таблицу, называемую таблицей частот выборки.

 Полигон частот — графическое изображение результатов выборки (линейная диаграмма, на которой по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной — их относительная частота). После этого полученные точки соединяются ломаной линией (отсюда и название — полигон в переводе с греческого означает многоугольник).

Интервальная таблица частот: весь диапазон значений выборки разбивают на интервалы (чаще всего равные) и подсчитывают частоту попадания значений выборки в каждый интервал. (так поступают при большом объеме выборки).