7. Корреляционный анализ. Точечная оценка коэффициента корреляции. Проверка гипотезы о корреляционной зависимости. – Задание 6.

Корреляционный анализ. 

метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.

Для того, что бы понять есть ли корреляция (зависимость) между двумя велечинами нужно найти КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. А для того, чтобы нас коэффициент корреляции нужно найти МОМЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. 

Момент корреляции К_ху=[(Х-m_x)(Y-m_y)]=M(xy)-M(x)M(y)

Коэффициент корреляции r_xy=K_xy/ х = (K_xy)/

Если |r|=0, то xi и yi - независимые

Если |r|=1, то х и у - линейно зависимые 

|r|>0,7, то корреляция сильная

0,5<|r|<0,69, то корреляция средняя

0,3<|r|<0,49, то корреляция умеренная

0,2<|r|<0,29, то корреляция слабая

Точечная оценка К_ху; r_xy

Т.о. мат ожидания ; ;

Т.о. дисперсии ;

Т.о. момента к.

Т.о. коэф. к.

Гипотеза Н₀ (r=0) – нет взаимосвязи

Гипотеза Н₁ – связь есть

Критерий: (r_кр – берется из таблицы), то Н₀ – отклоняется, а Н₁ – принимается

8. Регрессионный анализ. Построение линии регрессии (вывод уравнения прямой регрессии из полученных опытных данных). – Задание 7.

Регрессионный анализ - статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную.

Пусть в ходе исследования получено n пар чисел Например, – возраст i-го испытуемого, – время реакции на экспериментальную задачу. Каждую пару можно рассматривать как точку на координатной плоскости. Предполагается линейная зависимость: .

Построение линии регрессии: суть – с помощью метода наименьших квадратов (МНК) вычисляется регрессионная прямая, для которой сумма квадратов расстояний по оси ординат от точек до регрессионной прямой минимальна: . (угловой наклон) и (сдвиг) называют оценками МНК.

Вывод уравнения прямой регрессии:

9. Дисперсионный анализ нескольких выборок. Задание 5.

Дисперсионный анализ - анализ изменчивости результативного признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов.

Если мы производим данный дисперсионный анализ по нескольким выборкам, то меняем в разных выборках определенный параметр, который влияет на конечные результаты по выборкам:

Например, если мы хотим проследить качество выполняемой работы (производительность) строителями в зависимости от критерия осведомленности (а), мы делим рабочих, к примеру, на 3 выборки (К) по 6 человек (n), и первой выборке вообще не даем никаких указаний относительно сроков и качества выполнения работы (то есть они не осведомлены), второй выборке мы даем только примерные указания (частично осведомлены), а третьей даем четкие указания и план выполняемых работ (полностью осведомлены). Далее мы получаем результаты выполненных работ каждым рабочим: например, количество слоев положенных кирпичей за определенное время, и работаем с этим следующим образом:

1. Составляем выборки, например:

x₁= (0, 1, 3, 3, 5, 10)

x₂= (0, 6, 7, 9, 11, 13)

x₃= (0, 5, 8, 9, 11, 13)

2. Ищем количество значений статистик Манна-Уитни:

K(K-1) / 2= 3*2/2=3

3. В зависимости от полученной величины, ищем значение направленных статистик Манна-Уитни:

U₁₂=0,5+5+0+5+5+5+5+2=22,5

U₁₃=0,5+5+5+5+5+0,5+4+2=27

U₂₃=0,5+5+4+4+0,5+2+0,5+1+0,5=17,5

Данные U мы считаем сравнивая значение каждого числа из выборки (1) с выборкой (2) в первом случае, из выборки (1) с выборкой (3) во втором случае и каждого числа с каждым числом из выборки (2) с выборкой (3).

Например, берем первое число, 0, из выборки (1). Оно равно первому числу из выборки (2), следовательно, мы прибавляем 0,5. Далее все остальные числа из выборки (2) больше 0, поэтому мы прибавляем по единице за каждое из этих чисел, в сумме выходит 5. Следующее число из выборки (1) ­­– это 1, сравниваем ее опять тем же образом с числами из выборки (2): 1 больше нуля, поэтому к U₁₂ мы прибавляем 0. Остальные числа строго больше единицы, поэтому прибавляем по единице за каждое число: всего 5. И так с каждым числом из ряда. Вся эта сумма дает значение U₁₂.

4. Далее мы считаем статистику Джонкхиера, по формуле:

Которая, на самом деле, значит всего лишь сумму всех U.

Итого, J= 22,5 + 27 + 17,5= 67

5. Далее считаем матожидание и дисперсию по формулам:

6. И затем считаем нормированную статистику Джонкхиера:

7. Далее сравниваем значение нормированной статистики Джонкхиера с верхней односторонней квантилью нормального закона:

8. А потом считаем значение вероятности ошибки при данном методе подсчета (или надежность, если вычесть а* из 1) по формуле: