Распределение Стьюдента и Хи-квадрат распределение.
Статистические гипотезы. Проверка статистических гипотез. Односторонние и двусторонние критерии. Построение критериев (использование квантилей, уровней значимости).
Статистические гипотезы
На разных этапах
статистического исследования возникает
необходимость в формулировании и
экспериментальной проверке некоторых
предположительных утверждений (гипотез).
Статистической
называют гипотезу о виде неизвестного
распределения или о параметрах известных
распределений. Выдвигается основная
(нулевая) гипотеза
и
проверяется, не противоречит ли она
имеющимся эмпирическим данным.
Конкурирующей (альтернативной) называют
гипотезу
,
которая противоречит нулевой.
В результате
статистической проверки гипотезы могут
быть допущены ошибки двух родов. Ошибка
первого рода
состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза; вероятность
совершить такую ошибку обозначают
(альфа) и называют ее уровнем
значимости.
Ошибка второго
рода состоит
в том, что будет принята неправильная
гипотеза, вероятность которой обозначают
,
а мощностью критерия является вероятность
.
Проверка гипотезы
Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Под критической областью понимают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Критическую область при заданном уровне значимости следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.
Двусторонний критерий
Условие проверки гипотез, определяемое до сбора данных. Двусторонний тест не предполагает, что заранее известно направление смещения значения анализируемого параметра одной группы по отношению к другой. Двусторонний тест носит более универсальный характер, чем односторонний. Он также более консервативен по сравнению с односторонним тестом. Требуемое для одностороннего теста минимальное различие между группами меньше, чем для двустороннего теста.
Односторонний критерий
Статистический критерий, учитывающий априорные знания о направлении (увеличении либо уменьшении) значения исследуемого параметра одной группы по отношению к этому же параметру другой группы.
Требуемое для одностороннего теста минимальное различие между группами меньше, чем для двустороннего теста.
При расчсте статистического значсния двусторонний критерий используется в тех случаях, когда есть вероятность, что результаты будут расположены в одном из двух предсказанных направлений (как предполагается в двусторонней гипотезе). С другой стороны, односторонний критерий используется лишь в тех случаях, когда исследователь убежден, что результаты будут расположены лишь в одном направлении. К примеру, при определении воздействия алкоголя на способность управлять автомобилем трудно ожидать, что спиртное улучшит водительские навыки. поэтому применяется односторонний критерий. Однако, если исследователь хочет проанализировать влияние количества съеденных гамбургеров на способность управлять автомобилем, результаты будут менее очевидными, поэтому здесь более уместен двусторонний критерий.
Построение критериев
Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.
Применение квантилей в задачах проверки статистических гипотез
Часто применяемая
схема решения в задаче проверки
статистических гипотез имеет следующий
вид. Стараются найти такую статистику
,
чтобы:
распределение при нулевой гипотезе
было
бы известно (это позволит вычислить
вероятность ошибки I рода);
при альтернативной гипотезе
из
общих соображений было бы ясно, что
статистика
отклоняется
от данного распределения либо в
положительную, либо в отрицательную
сторону.
Если статистика с указанными свойствами существует, тогда на ее основе можно получить статистический критерий для данной задачи. Для этого необходимо с помощью соответствующих квантилей выделить область (нижнюю, верхнюю или двустороннюю), попадание в которую было бы маловероятно при нулевой гипотезе (и эта вероятность известна), однако может быть объяснено тем, что на самом деле имеет место альтернатива. Многочисленные критерии принятия решения строятся именно по такой схеме.
Если в дополнение к указанным условиям, распределение будет известно также и при альтернативе , то это еще лучше, тогда можно вычислить также вероятность ошибки II рода. Но такие ситуации в реальных задачах встречаются крайне редко, поскольку альтернатива обычно гораздо сложнее нулевой гипотезы.
Стандартная методика проверки статистических гипотез
В стандартной методике проверки статистических гипотез уровень значимости фиксируется заранее, до того, как становится известной выборка .
Чрезмерное уменьшение
уровня значимости (вероятности ошибки
первого рода) 
может привести к увеличению вероятности
ошибки второго рода, то есть вероятности
принять нулевую гипотезу, когда на самом
деле она не верна (это называется
ложноотрицательным решением, false
negative). Вероятность ошибки второго рода 
связана с мощностью критерия 
простым соотношением 
.
Выбор уровня значимости требует
компромисса между значимостью и мощностью
или (что то же самое, но другими словами)
между вероятностями ошибок первого и
второго рода.
Обычно рекомендуется
выбирать уровень значимости из априорных
соображений. Однако на практике не
вполне ясно, какими именно соображениями
надо руководствоваться, и выбор часто
сводится к назначению одного из популярных
вариантов
.
В докомпьютерную эпоху эта стандартизация
позволяла сократить объём справочных
статистических таблиц. Теперь нет
никаких специальных причин для выбора
именно этих значений.
Существует две альтернативные методики, не требующие априорного назначения .