1. Многофакторный эксперимент

1.1. Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) - это система опытов, при которой реализуются все возможные, неповторяющиеся комбинации уровней факторов. ПФЭ служит для математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора. Для аддитивной (суммирующей) математической модели используют алгебраические полиномы. Полиномы первой степени для двух и трех факторов будут иметь следующий вид:

а) линейная модель

У = b₀ + b₁X₁ + b₂ X₂; У = b₀ + b₁X₁ + b₂X ₂ + b₃X₃; (1)

б) неполные полиномы второй степени - нелинейность (кривизна) за счет взаимовлияния факторов

У = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b_1,2X₁X₂;

У = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + b_1,2X₁X₂ + b_1,3X₁X₃ + b_2,3X₂X₃ + b_1,2,3X₁X₂X₃. (2)

Так как выбранная математическая модель не содержит квадратов факторов, то достаточно, чтобы в опытах каждый фактор принимал только два уровня (р = 2). Такой ПФЭ называется экспериментом типа 2^k. Согласно формуле N = p^k при двух факторах (k = 2) число опытов ПФЭ составит N = 2² = 4, при трех факторах - N = 2³ = 8 опытов и т.д.

Математический аппарат ПФЭ можно применять не только для постановки новых исследований, но и для обработки ранее проведенных исследований.

Применим ПФЭ для обработки экспериментальных результатов оценки среднего времени ликвидации отказов магистральных трубопроводов (табл. 1).

Таблица 1

Среднее время ликвидации отказа трубопровода

		Среднее время ликвидации отказа, ч
		Аварии		Аварийные остановки
Диаметр трубы, мм	Давление газа, МПа	Средняя полоса	Северные условия	Средняя полоса	Северные условия
1020	5,5 7,5 10,0	38 52 70	76 104 140	25 34 45	50 68 90
1220	5,5 7,5 10,0	47 65 86	94 130 172	29 40 53	58 80 106
1420	5,5 7,5 10,0	58 79 105	116 158 210	35 47 63	70 94 126

Из табл. 1 видно, (верхняя строка) что при диаметре трубы 1020 мм и давлении газа 5,5 МПа среднее время ликвидации отказа в средней полосе России составит 38 ч, аналогично (нижняя строка) при 1420 мм и 10,0 МПа необходимо 105 ч. В середине табл. 1 при 1220 мм и 7,5 МПа надо 65 ч.

Планирование и реализация ПФЭ состоит из следующих основных этапов:

1. выбор параметра оптимизации;

2. выбор факторов и уровней их варьирования;

3. кодирование факторов;

4. составление плана-матрицы эксперимента;

5. рандомизация опытов - исключение влияния неконтролируемых факторов, перевод систематической ошибки в случайную, осуществляется выбором случайной последовательности выполнения опытов. Для рандомизации можно воспользоваться таблицей случайных чисел, игральными картами или кубиками и т.д.

6. реализация плана эксперимента;

7. проверка однородности дисперсий параллельных опытов и их воспроизводимости;

8. расчет коэффициентов уравнения регрессии, ошибок и статистической значимости;

9. проверка адекватности модели.

Выходом "черного ящика"- параметром оптимизации (У) примем среднее время ликвидации отказа. Входами "черного ящика" - факторами являются (табл. 2):

1) диаметр трубы Д = х_1; 2) давление газа Р = х₂.

Таблица 2