Рабочая матрица двухфакторного эксперимента

Уровень варьируемых факторов	Кодированные обозначения	Натуральные значения факторов
		Д, мм (x1)	Р, МПа (x2)
Верхний уровень	+	1420	10,0
Нижний уровень	-	1020	5,5
Основной уровень	0	1220	7,75
Интервал варьирования	И	200	2,25

В табл. 2 верхний уровень соответствует нижней строке табл. 1, нижний – верхней строке.

После выбора параметра оптимизации, факторов и уровней их варьирования выполняем кодирование, перевод натуральных значений фактора в безразмерные, которое представляет собой линейное преобразование факторного пространства с переносом начала координат в нулевую точку плана эксперимента и выбор масштаба по осям в единицах интервалов варьирования.

Факторы кодируют по формуле

(3)

где: X_i - кодированное безразмерное значение фактора;

x_i - натуральное размерное значение фактора; i - номер фактора;

- натуральное значение основного (нулевого) уровня фактора, исходная точка для построения плана эксперимента;

И_i = - интервал варьирования фактора, это некоторое число (свое для каждого фактора) прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровень фактора. Интервал не может быть меньше ошибки метода измерений фактора, он также не должен выходить за пределы области определения фактора.

Для первого фактора И₁ = (1420 – 1220)/2 = 200; для второго И₂ = (10 – 5,5)/2 = 7,75.

Верхний уровень кодированного фактора обозначают + 1, а нижний - 1, часто для упрощения записи в матрицах планирования единицы не отмечают, а оставляют только знаки (+) или (-).

Проверим формулу (3) по данным табл. 2:

верхний уровень Х_1В = = + 1; нижний уровень Х_1Н = = - 1;

основной уровень Х_1,0 = = -0.

На основе рабочей матрицы табл. 2 составим табл. 3 - матрицу планирования ПФЭ для аварий в средней полосе (столбец 3 табл. 1).

Таблица 3

Матрица планирования ПФЭ типа 2²

с расчетным столбцом взаимовлияния факторов

N опыта	Кодированные переменные (факторы)				Выход процесса
	Х0	Х1	Х2	Х1Х2
1	+	-	-	+	(37+39)/2 = 38
2	+	+	-	-	(57+59)/2 = 58
3	+	-	+	-	(69+71)/2 = 70
4	+	+	+	+	(104+106) = 105
N = 4	b0	b1	b2	b1,2	n = 2

Матрица планирования образуется следующим образом. Для первого фактора знаки чередуются через один (-,+,-,+); для второго – через два (-,-,+,+), для третьего – через четыре и т.д. по степеням двойки. Знаки под взаимовлиянием факторов получены как произведение знаков по горизонтали. Под Х₀ все знаки «плюс».

Знаки указывают на условия проведения опытов.

1-й опыт выполнен при нижних значениях факторов ( - , - ) 1020 и 5,5; получены два экспериментальных значения: 37 и 39, по ним вычислено среднее арифметическое (37+39)/2 = 38 – верхняя строка табл. 1.

2-й опыт: 1-й фактор на верхнем уровне (+) 1420, 2-й – на нижнем (-) 5,5; получили (57+59)/2 = 58 – 3-я строка снизу.

3-й опыт: 1-й фактор на нижнем (-) уровне 1020, 2-й – на верхнем (+) 10,0; получили (69+71)/2 = 70 – 3-я строка сверху.

4-й опыт: оба фактора на верхнем уровне ( + , + ) 1420 и 10,0; получили (104+106)/2 = 105 – нижняя строка табл. 1.

Матрица планирования эксперимента должна обладать следующими основными свойствами:

1 - симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю;

2 - ортогональность - сумма почленных произведений двух любых столбцов матрицы равна нулю, это очень важное свойство позволяет вычислять коэффициенты регрессии уравнения независимо друг от друга;

3 - ротатабельность - точность предсказания параметра оптимизации (дисперсия) одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Матрица планирования, приведенная в табл. 3, соответствует предъявленным к ней требованиям. Для любого столбца, кроме Х₀ выполняется условие симметричности относительно центра эксперимента - количество плюсов и минусов одинаково, матрица ортогональна - например, проверим два последних столбца, при перемножении получим следующие знаки (- + - +), сумма этих знаков равна нулю.

Любая случайная величина характеризуется законом распределения вероятностей. Предположим, что значения параметра оптимизации "y" распределены по нормальному закону, в этом случае "y" можно полностью охарактеризовать двумя величинами: математическим ожиданием (средним значением) - и дисперсией - S².

Для оценки ротатабельности матрицы проверим однородность дисперсий параллельных опытов (реализаций) - однородность построчных дисперсий по критерию Кохрена (Кочрена) - G. Рассчитываем построчные дисперсии повторных наблюдений (параллельных опытов, реализаций) по формуле:

(4)

где f₁ = n - 1 - число степеней свободы, равное количеству параллельных наблюдений (n) минус единица. Для нашего случая n = 2.

Одна степень свободы использована для вычисления среднего - .

Например, для опыта N 1 будем иметь следующий результат:

Такие же результаты получим для других опытов: ∑S_i² = 2х4 = 8.

Определяем расчетное значение критерия Кохрена:

(5)

По рис. 2 определяем критическое значение критерия для числа степеней свободы: числителя - f₁ = n - 1 и знаменателя f₂ = N = 4 при выбранном уровне значимости P = 0,05 (доверительная вероятность 0,95 или 95%). По оси абсцисс рис. 2 находим f₂ = 4, по вертикали поднимаемся до линии G при f₁ = 1, по горизонтали смещаемся вправо на шкалу и получаем G_кр = 0,9. Так как критическое значение критерия больше расчетного G_кр = 0,9 > G = 0,25, то дисперсии однородны, то есть точность опытов одинакова.

Определяем дисперсию воспроизводимости эксперимента (параметра оптимизации) и среднеквадратическую ошибку (стандарт) эксперимента:

(6)

Из условия ортогональности матрицы для ПФЭ дисперсии и ошибки всех коэффициентов регрессии равны между собой и определяются:

или

(7)

Определяем доверительный интервал для коэффициентов регрессии:

Db_i = ± t_кр × S(b_i) = 2,8 ×0,5 = ± 1,4, (8)

где t_кр - критическое значение критерия Стьюдента определяем при числе степеней свободы f = N (n - 1) = 4 на шкале абсцисс рис. 3. По вертикали достигаем линии характеризующей табличные значения критерия t при заданном уровне значимости P = 0,05, сносим вправо это значение и получаем результат t_кр = 2,8.

Доверительный интервал Db используется для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии уравнения. Если коэффициент регрессии по абсолютной величине меньше доверительного интервала, то он статистически незначим.

Для вычисления коэффициентов регрессии необходимо просуммировать средние значения параметра оптимизации - y_i (предпоследний столбец табл. 3) со знаком соответствующего столбца матрицы и разделить на число опытов - N.

Выход процесса (параметр оптимизации) в центре факторного пространства при основном (нулевом) уровне факторов составит:

b₀ = = 67,75.

Влияние на процесс первого фактора - диаметр трубы оценивается коэффициентом регрессии:

b₁ = = 13,75.

Влияние второго фактора - давление газа в магистрали:

b₂ = = 19,75.

Взаимовлияние двух факторов:

b_1,2 = = 3,75.

Все коэффициенты регрессии статистически значимы, так как абсолютная величина этих коэффициентов больше доверительного интервала - Db = 1,4.

Уравнение регрессии, описывающее влияние диаметра трубы и давления газа в ней на среднее время ликвидации отказа магистрального трубопровода в средней полосе, будет иметь следующий вид:

У = 67,75 + 13,75 Х₁ + 19,75 Х₂ + 3,75 Х₁Х₂. (9)

Проверим полученное уравнение для условий опыта 4:

У₄ = 67,75 + 13,75 + 19,75 + 3,75 = 105.

Последний этап планирования и реализации ПФЭ заключается в проверке адекватности модели - способности прогнозировать результаты опытов и хорошо описывать поверхность отклика. Для проверки адекватности вычисляют оценку дисперсии адекватности по формуле:

(10)

где: f_ад = N - В - число степеней свободы;

N - число опытов ПФЭ;

B - число значимых коэффициентов регрессии;

- среднее значение параметра оптимизации параллельных реализаций;

- расчетное значение параметра оптимизации.

Числом степеней свободы называется разность между числом опытов и числом статистически значимых коэффициентов, определяемых независимо друг от друга. Возможны три случая:

1. Число степеней свободы положительно - f > 0. Это соответствует ненасыщенным планам. В такой ситуации, кроме оценки всех неизвестных констант, возможна также проверка адекватности уравнения;

2. Если число степеней свободы равно нулю, то возникают насыщенные планы. В этом случае можно оценить все константы, но не хватает "свободы" для проверки модели.

3. При f < 0 - планы сверхнасыщенные, здесь возможна оценка только некоторых из неизвестных величин.

В нашем случае дисперсию адекватности рассчитать невозможно, так как все коэффициенты регрессии статистически значимы, число степеней свободы равно нулю, а расчетные значения параметра оптимизации совпадают со средними значениями. В таких случаях необходимо выполнить дополнительные опыты в центральной зоне факторного пространства и сопоставить экспериментальные данные с расчетными.

Адекватность уравнения проверим в центральной зоне факторного пространства при Д = 1220 мм, Р = 7,5 МПа и параметре оптимизации У = 65 – средняя строка табл. 1.

Закодируем натуральные значения факторов по формуле (3):

Х₁ = = 0; Х₂ = = - 0,11.

Подставляем полученные значения в уравнение регрессии (9)

У = 67,75 + 13,75 Х₁ + 19,75 Х₂ + 3,75 Х₁Х₂. (9)

Расчетное значение параметра оптимизации при этих условиях:

У = 67,75 + 19,75 (- 0,11) = 65,58.

Относительная погрешность расчетного значения по сравнению с экспериментальным невелика (∆У = 100 (65,58 – 65,0) / 65 = 0,89%), что позволяет сделать вывод об адекватности полученного уравнения ПФЭ. Где У = 65 – значение параметра оптимизации.

Коэффициенты уравнения регрессии для аварийных остановок в средней полосе:

b₀ = = 42; b₁ = = 7;

b₂ = = 12; b_1,2 = = 2.

Получили уравнение

У = 42 + 7 Х₁ + 12 Х₂ + 2 Х₁Х₂ .

Коэффициенты уравнения регрессии для условий Севера в два раза больше коэффициентов средней полосы (табл. 1).

b₀ = = 135,5 и т.д.

Адекватность уравнения обычно оценивают с помощью критерия Фишера.

Если расчетное значение критерия Фишера меньше критического, , то полученное уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Если модель неадекватна, то возможны следующие решения:

• достройка плана эксперимента до более полного, например, до модели второго порядка;

• разбивка области эксперимента на несколько подобластей за счет уменьшений интервалов варьирования, описание каждой отдельно;

• перенесение центра плана эксперимента;

• преобразование зависимых и независимых переменных.

Дополнительные опыты в центральной зоне факторного пространства (как правило, Х_i = 0) целесообразно выполнять в любом случае, даже при положительной оценке с помощью критерия Фишера. В приведенном ранее примере Х₁ ¹ 0 по ограничениям испытательного стенда. Иногда опыты в матрице планирования не дублируют (n = 1), в таком случае дисперсию воспроизводимости эксперимента оценивают по нескольким опытам, выполненным при нулевом уровне факторов (n₀ » 5).