Глава 3. Влияние диполь-дипольного взаимодействия на динамику двухкубитного перепутанного состояния

Основная проблема, которая возникает при физической реализации протоколов в физике квантовых вычислений является декогеренция, возникающая за счет взаимодействия с окружением. Однако, даже при отсутствии взаимодействия кубитов с окружением, степень перепутывания кубитов может меняться с течением времени, при этом возможны эффекты мгновенной смерти и рождения, перепутывания на временах меньших времени декогеренции, в частности для кубитов, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями, в идеальных резонаторах изменение степени перепутывания кубитов вызвано осцилляциями Раби. Поэтому важной проблемой современной квантовой информатики является разработка эффективных механизмов, обеспечивающих стабилизацию перепутывания кубитов. Как уже отмечалось в главе 2, сверхпроводящие кубиты являются в настоящее время наиболее перспективными физическими системами для реализации протоколов квантовой информатики. Одной из важных отличительных черт сверхпроводящих кубитов, отличающих их от естественных атомов, являются большие значения эффективного дипольного момента, это позволяет реализовать для сверхпроводящих кубитов эффективное диполь-дипольное взаимодействие, которое может быть использовано для генерации и стабилизации перепутывания сверхпроводящих кубитов. Чтобы управлять и контролировать состояния перепутывания кубитов используется их взаимодействие с квантовыми полями копланарных резонаторов. В настоящее время имеется большое число работ, в которых как теоретически, так и экспериментально исследована динамика перепутывания кубитов взаимодействующих с копланарныи резонаторами. Однако преимущественно рассматривалось взаимодействие кубитов с общим полем единственного резонатора. Представляет интерес изучить динамику перепутывания кубитов взаимодействующих с различными резонаторами, при этом взаимодействие кубитов может быть реализовано за счет эффективного диполь дипольного взаимодействия.

Для этих целей рассмотрим два сверхпроводящих кубита, каждый из которых резонансно взаимодействует с изолированной модой микроволнового поля копланарного резонатора в вакуумном состоянии.

Рис.9 Схематическое изображение двух сверхпроводящих кубита, каждый из которых резонансно взаимодействует с изолированной модой микроволнового поля копланарного резонатора в вакуумном состоянии.

Взаимодействие между кубитами осуществляется за счет эфективно диполь-дипольного взаимодействия. Гамильтаниан данной системы можно записать в виде:

. (5.1)

Где первые два слагаемых представляют эффективный гамильтониан невырожденного двухфотонного взаимодействия двухуровневых кубитов с полями резонаторов, -повышающий и понижающий операторы в i-том двухуровневом кубите (i=1,2), − эффективная константа двухфотонного взаимодействия кубита и резонатрного поля, третье слагаемое описывает эффективное диполь-дипольное взаимодействие кубитов, − параметр этого взаимодействия.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать идентичные атомы и идентичные резонаторы, то есть .

Выберем начальные состояние системы в виде:

(5.2)

где -возбужденное состояние i-го атома, -основное состояние i-го атома, -вакуумное состояние двух резонаторов. Такое состояние может быть реализовано за счет взаимодействия кубитов общим полем третьего копланарного резонатора.

Временную функцию системы найдем из уравнения Шредингера:

(5.3)

Будем искать решение уравнения в виде:

,(5.4)

где коэффициенты будут удовлетворять следующим уравнениям:

,

,

,

.

Найдем коэффициенты. После вычислений, получим следующие результаты:

,

,

,

.

Для определения меры перепутывания воспользуемся параметром Переса-Хородецких:

, (5.5)

где -отрицательные собственные значения транспонированной по переменным одного кубита атомной матрицы плотности . Для неперепутанных состояний = 0. Для перепутанных состояний: Максимальной степени перепутывания соответствует значение = 1.

Запишем атомную матрицу плотности, соответствующему (5.3).

, (5.6)

где , , , .

Частично транспонируя по переменным одного кубита, получим

, (5.7)

Тогда параметр Переса-Хородецких будет иметь вид:

. (5.8)

В таблице 1 показаны параметры экспериментов для сверхпроводящих кубитов, взаимодействующих с копланарными резонаторами. Из таблицы хорошо видно, что константа атом-полевого взаимодействия в таких экспериментах составляет несколько ГГц. Вместе с тем, в последнее время удалось реализовать эффективное взаимодействие кубитов g>3 ГГц. Это означает что в современных экспериментах достижимое значение параметра .

Таблица 1. Взаимодействие кубитов с копланарным микроволновым резонатором.

Автор, год	, (ГГц)	, (ГГц)	T, (мК)	, (ГГц)
M. Hofheinz, 2008	6-9	6.57	100	2,26
M. A Sillanpa, 2007	4	8,74	100	5,40

Результаты численного моделирования параметра перепутывания для начальных состояний двухатомной системы вида (5.2) и различных значений интенсивности диполь-дипольного взаимодействия представлены на рисунках 10 ,11 и 12. Из рисунков хорошо видно, что для начального состояния (5.2) диполь-дипольное взаимодействие во всех случаях приводит к значительной стабилизация степени перепутывания кубитов.

Рисунок 10. Временная зависимость параметра перепутывания (t) для двухатомной системы с начальным состоянием (5.2) и значением параметра , параметр прямого диполь- дипольного взаимодействия J=0 (точки), J=2(тире), J=5 (сплошная линия).

Рисунок 11. Временная зависимость параметра перепутывания (t) для двухатомной системы с начальным состоянием (5.2) и значением параметра , параметр прямого диполь- дипольного взаимодействия J=0 (точки), J=2(тире), J=5 (сплошная линия).

Рисунок 12. Временная зависимость параметра перепутывания (t) для двухатомной системы с начальным состоянием (5.2) и значением параметра , параметр прямого диполь- дипольного взаимодействия J=0 (точки), J=2(тире), J=5 (сплошная линия).

Таким образом компьютерное моделирование показало, что наведенное изначально перепутывание кубитов рассматриваемой модели может быть существенно стабилизировано, при наличии между сверхпроводящими кубитами интенсивного диполь-дипольного взаимодействия.