2.2. Методы обучения решению текстовых задач на уроках алгебры в 8 классе

В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных метода решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач. Реже используют геометрический метод решения текстовых задач и нестандартные способы решения текстовых задач.

Рассмотрим методы решения тестовых задач на уроках алгебры в 8 классе:

1.Арифметический метод

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Решение любой задачи – процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приёмы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы

1) Анализ задачи;

2) Поиск плана решения задачи;

3) Осуществление плана решения задачи;

4) Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют чётких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Рассмотрим далее каждый из этих этапов.

Анализ задачи. Основное назначение этого этапа – понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты; выделить все отношения (зависимости) между ними. Известно несколько приёмов, которые можно использовать при анализе задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если поставить специальные вопросы и ответить на них:

• О чём задача?

• Что требуется найти в задаче?

• Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

• Что в задаче неизвестно?

• Что является искомым? [28].

Поиск и составление плана решения задач. Назначение этого этапа: наметить последовательность действий. План решения задачи – это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать всё сначала. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и так далее. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Осуществление плана решения задач. Назначение данного этапа – найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом. Для текстовых задач решаемых арифметическим методом, используются следующие приёмы:

• запись по действиям (с пояснениями, без пояснения, с вопросами);

• запись в виде выражения [28].

Проверка решения задачи. Назначение данного этапа – установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Арифметический метод решения задач может быть общим методом. Он представляет более или менее полную совокупность приёмов рассуждения, каждый из которых применим для конкретного типа задач.

2. Алгебраический метод

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «X», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

При алгебраическом методе решения текстовой задачи выполняются следующие этапы:

1) Разработка математической модели;

Математической моделью задачи, является, как правило, уравнение или система уравнений.

2. Поиск алгоритма решения;

Алгоритм решения, как правило, известен.

2. Вычисление и исследование[4].

3. Геометрический метод решения текстовых задач.

Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Диаграмма – это чертёж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин. Она служит не только для изображения величин, но и для показа соотношений между ними.

График – это множество точек (обычно некоторая линия, реже – конечное множество), координатной плоскости. График используется для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая – функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции – ординатой той же точки. Для решения конкретной задачи используется один или несколько графиков на одном чертеже.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико – вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

При решении задач конструктивным приёмом диаграмма или график вычерчиваются как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, треугольником или на миллиметровой бумаге или бумаге «в клетку» в определённом масштабе. Ответ обычно получается приближённый, но приемлемый для практических целей. Он находится при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, а зачастую просто «считывается» с чертежа [4].

Рассмотрим методику решения задач различных типов с применением различных методов и определим на формирование каких познавательных УУД они направлены.

Виды познавательных УУД с их условной нумерацией представлены в таблице 5.

Таблица 5

Виды познавательных УУД с их условной нумерацией

Условное обозначение	Виды  познавательных  УУД	Содержание  познавательных  УУД
УУД 1	Общеучебные	Помогают  самостоятельно  выделить  и  сформулировать  цель,  структурировать  знания,  анализировать  способы  и  условия  действия  (рефлексия),  контролировать  и  оценивать  процесс,  выбрать  необходимую  информацию  из  прослушанных  текстов,  выбрать  наиболее  эффективный  способ  решения
УУД 2	Логические	Осуществляют  анализ  объектов  и  выделение  существенных  и  несущественных  признаков,  синтез,  а  также  самостоятельное  дополнение  недостающих  компонентов,  выбор  признаков  для  сравнения,  классификаций  объектов,  выведение  понятия  и  следствия,  установка  причинно-следственных  связей,  построение  логических  цепочек  для  рассуждения,  доказательство  и  выдвижение  гипотез
УУД 3	Знаково-символические	Моделирование – преобразование объекта в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая). Преобразование модели с целью выявления общих законов.
УУД 4	Постановка  и  решение  проблемы	Реализовывает  формулирование  проблемы  и  создание  способов  решения  творческого  и  поискового  характера

 

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой совместной работы. При этом всё равно, какую работу выполняют и чем эту работу измеряют – числом деталей, количеством вспаханных гектаров и т. п. Если, например, некоторая работа выполняется за 10 часов, то за 1 ч, очевидно, выполняется   всей работы, а вся работа составляет десять таких частей  . Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы.

Задача № 1. Первая бригада может выполнить задание за 36 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе?

Метод решения: арифметический.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 2.

Решение: примем всю работу за единицу, тогда за 1 ч первая бригада выполняет  , а вторая   всей работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют   всей работы, поэтому всю работу они выполнят за 

Ответ: при совместной работе бригады выполнят задание за 12 часов.

Задача № 2. Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?

Метод решения: арифметический.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 2.

Решение: примем объём всей работы за 1.

 – выполняют два печника за 1 час, работая вместе

 – выполняет первый печник за 1 час, работая один

 – выполняет второй печник за 1 час, работая один

 – за столько времени сложил бы печь второй печник

Ответ: второй печник, работая один, сложил бы печь за 48 часов.

Рассмотрим примеры решения задач на движение.

Задача № 3. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?

Метод решения: алгебраический.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 2, УУД 3.

Решение:

Решение задачи сводится к нескольким этапам.

1 этап – составление математической модели

По расписанию: пусть х км/ч– скорость поезда по расписанию. Длина перегона: s=60 км. Для равномерного прямолинейного движения верна формула:

Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: .

Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна (х+10) км/ч. Длина перегона осталась той же: s=60 км.

Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: .

Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что 1 мин = .

Получаем следующее уравнение:

2 этап - работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: . Находим, что , .

3 этап - ответ на поставленный вопрос в задачах на движение

Так как за х мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.

Второй вариант оформления решения задачи (таблица 6).

В нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию (планируемое):

Таблица 6

Таблица к задаче №3

	Путь (s)	Скорость (v)	Время (t)
Планируемое движение	60 км	х км/ч
Фактическое движение	60 км	(х+10) км/ч

Данная таблица 6 помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение и решить его.

Приведем пример решения задачи на движение по реке .

Задача № 4.

Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна 20 км/ч?

Метод решения: алгебраический.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 2, УУД 3.

Решение:

Пусть х км/ч– скорость течения реки, тогда: (х+20) км/ч– скорость по течению реки;

(20-х) км/ч– скорость против течения реки.

Путь, который проходит катер между пристанями, равен 80 км. То есть, s=80 км.

Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:

Против течения:

Общее время вычисляется по формуле:

Получаем следующее уравнение:

Это уравнение легко решается. Находим, что

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна 4 км/ч.

Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки:

А время, которое катер потратил на движение против течения реки:

Составим таблицу 7 для данной задачи:

Таблица 7

Таблица к задаче №4

	Путь (s)	Скорость (v)	Время (t)
По течению реки из А в В	80 км	(20+х) км/ч
Против течения реки из В в А	80 км	(20-х) км/ч

С помощью данной таблицы 7 также можно составить вышеприведенное уравнение для решения данной задачи и решить его.

Рассмотрим решение задач геометрическим методом.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико – вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач. При решении задач конструктивным приёмом диаграмма или график вычерчиваются как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, треугольником или на миллиметровой бумаге или бумаге «в клетку» в определённом масштабе. Ответ обычно получается приближённый, но приемлемый для практических целей. Он находится при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, а зачастую просто «считывается» с чертежа [4].

Пример:

Задача № 5.

Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго - 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Метод решения: геометрический.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 2, УУД 3.

Решение 1-й способ: Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. (рис. 3 а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ: В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали -расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго - у = 250 - 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис.3 б). Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каким расстоянии от пункта А про изойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ: Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения - отрезком OS (рис. 3 в ). Тогда площадь S прямоугольника OSO₁T (она равна OS·OT) соответствует расстоянию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + ЗО = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50·ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

Рис. 3 Решение задачи геометрическим методом

Ответ: через 5 ч. [19].

В заключение приведем пример текстовой задачи, направленный, в том числе, на развитие УУД 4.

Рассмотрим нестандартный способ решения обычных «стандартных» задач и специальный прием их решения: переформулировка задачи.

Для ясности, о каких переформулировках пойдет речь, решим задачу 6.

1. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купил 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Сколько стоит каждая птица?

Метод решения: переформулировка.

Формируемые УУД: УУД 1, УУД 4.

Простое решение задачи основано на замене каждой большой птицы двумя маленькими, то есть в такой переформулировке задачи, при которой ответ новой задачи является ответом для первой задачи. Вот как выглядит новая задача.

В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди купила 13 маленьких птиц. Если бы она вместо этого купила 11 маленьких птиц, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Прием переформулировки задачи позволяет обходиться без решения систем [15].

Обобщая рассмотренные методы решения различных типов текстовых задач, составим таблицу 8, в которой отразим номера рассмотренных задач и формируемые ими познавательные УУД.

Таблица 8

Номера рассмотренных задач и формируемые ими познавательные УУД

Виды познавательных УУД/ номера задач	№1	№2	№3	№4	№5	№6
УУД 1	+	+	+	+	+	+
УУД 2	+	+	+	+	+	+
УУД 3			+	+	+	+
УУД 4						+

Таким образом, была составлена система задач, формирующая все виды познавательных УУД.

Так же в Приложении составлен конспект урока и две презентации к уроку «Решение задач с помощью квадратных уравнений (алгебра , 8 класс)», в которых представлены различные методы решения текстовых задач.

Таким образом, в данном параграфе проведен анализ следующих методов решения текстовых задач на уроках алгебры в 8 классе: арифметический, алгебраический, графический, нестандартный метод решения текстовых задач. Следует отметить, что решение любой текстовой задачи требует чёткой самоорганизации: точного осознания цели, работы либо по готовому алгоритму (плану), либо по самостоятельно созданному, проверки результата действия (решения задачи), коррекции результата в случае необходимости. Важную роль при решении текстовых задач играют приемы: поиск алгоритма решения, разработка математической модели решения, составления и решения уравнения, переформулировки задачи.