35. Общая характеристика моделей авторегрессии.

И/ИЛИ

Авторегрессионная (AR-) модель (англ. autoregressive model) — модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда. Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p)-процесс) определяется следующим образом

где {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{p}}  — параметры модели (коэффициенты авторегрессии), {\displaystyle c}  — постоянная (часто для упрощения предполагается равной нулю), а {\displaystyle \varepsilon _{t}}  — белый шум.

Простейшим примером является авторегрессионный процесс первого порядка AR(1)-процесс:

Для данного процесса коэффициент авторегрессии совпадает с коэффициентом автокорреляции первого порядка.

Другой простой процесс — процесс Юла — AR(2)-процесс:

36. Оценка параметров моделей авторегрессии.

Рассмотрим модель авторегрессии первого порядка

 . (5.8)

Одна из основных проблем при построении моделей авто­регрессии (при оценке параметров) связана с наличием корреляционной зависимости между переменной y_t-1 и остатками ε_t в уравнении регрес­сии, что приводит при применении обычного МНК к получению смещенной оценки параметра при переменной y_t-1.

Для преодоления этой проблемы обычно используется метод инструментальных переменных, согласно которому перемен­ная y_t–1 из правой части модели заменяется на новую переменную ŷ_t–1, которая, во-первых, должна тесно коррелировать с y_t–1, и, во-вторых, не коррелировать с ошибкой модели ε_t.

В качестве такой переменной можно взять регрессию переменной y_t–1 на переменную x_t–1, определяемую соотношением

 , (5.9)

где константы d₁, d₂ являются коэффициентами уравнения регрессии

 , (5.10)

полученными с помощью обычного МНК.

В результате, для оценки параметров уравнения (5.8) используется уравнение

 , (5.11)

где значения переменной   рассчитаны по формуле (5.9).

Заметим, что функциональная связь между переменными   и x_t–1 (5.9) приводит к появлению высо­кой корреляционной связи между переменными   и x_t. Для преодоления этой проблем в модель (5.8) и, соответственно, в модель (5.11) можно включить фактор времени в качест­ве независимой переменной. Модель при этом примет вид

 . (5.12)

37. Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике.

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования.

Поэтому при моделировании экономических ситуаций часто необходимо построение систем уравнений, когда одни и те же переменные могут выступать и в роли объясняющих и в роли объясняемых. Так, если изучается модель спроса как отношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Системы уравнений здесь могут быть построены по-разному.

Возможна система независимых уравнений,когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

 (1)

Набор факторов x_j в каждом уравнении может варьироваться.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется МНК. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

Если зависимая переменная  одного уравнения выступает в виде фактора  в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

 (2)

В данной системе зависимая переменная  включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором факторов  . Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

 (3)

Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.