2.3. Ускорение точки

Чаще всего модуль и направление скорости движения точки изменяются. Это изменение может быть по модулю (неравномерное прямолинейное), по направлению (равномерное криволинейное) или и по модулю, и по направлению (неравномерное криволинейное).

Векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости, называется ускорением точки.

Пусть точка М движется по некоторой криволинейной траектории. В момент времени t точка находилась в положении М и имела скорость V, а в момент времени (t + t) – перешла в положение М₁ со скоростью V₁ (рис. 2. 7).

Рис. 2.7

Определим изменение вектора скорости точки за промежуток времени t. Перенесем вектор V₁ в точку М, и соединим концы векторов V и V₁ . Получим DV =V₁ -V – векторное приращение скорости точки за промежуток времени t. Отношение приращения вектора скорости V к соответствующему

промежутку времени t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

a_CP = ^DV м/с².

D t

Направлено среднее ускорение в сторону вектора приращения скорости. Если промежуток времени уменьшать, то среднее ускорение точки будет изменяться как по величине, так и по направлению, однако вектор среднего ускорения стремится к определенному пределу. Этот предел называется ускорением точки в данный момент времени.

a	= lim	a	CP = lim	DV			м/с2.
	D t ®0		D t ®0 Dt

Итак, ускорение точки в данный момент времени равно пределу его среднего значения за промежуток времени t при стремлении последнего к нулю. Вектор ускорения точки при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорение при векторном способе задания движения точки

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса вектора точки по времени.

							d 2	r
			d V						2
a =						=
										м/с .
			d t				d t 2

Ускорение при координатном способе задания движения точки

При координатном способе задания движения точки вектор скорости

определяется формулами

=

̇;

=

̇;

= ̇.Продифференцировав, получим

формулу для ускорения:

d V

X

d 2 x

d V

d 2 y

d V

d 2 z

a

X

=

=

;

a

=

Y

=

;

a

Z

=

Z

=

d t

d t

2

Y

d t

d t 2

d t

d t 2

или

= ^̇ = ̈; = ^̇= ̈; = ^̇= ̈.

• проекции вектора ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат, или первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости.

Зная три проекции вектора ускорения, легко найти его модуль:

a = a X2 + aY2 + a Z2
и косинусы углов с координатными осями:
cosa =	aX	; cos b =	aY	;	cosg =	aZ	.
	a
			a			a

	Задача.				Точка
	æp			ö
x = -2 cosç			t ÷		+ 3 , см; y =
		4
è				ø

движется				в плоскости согласно уравнениям:
æ p		ö		- 1 , см.
2 sin ç			t ÷
è 8		ø

Определить уравнение траектории точки и для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой двойного угла

cos 2a = 1 - 2 sin ² a . Примем 2a = ^p t , тогда

				4
	p			æp		ö		= 1 - 2 sin2	æp		ö
a =		t	®	cosç			t ÷		ç		t ÷.
	8				4					8
				è			ø		è		ø

Определяем уравнение траектории точки и её положение в данный момент времени. Решая совместно уравнения движения и преобразуя второе уравнение, получаем:

æp

ö

3 - x

æp

ö

y +1

3 - x

(y +1)2

cosç

t ÷

=

; sinç

t ÷

=

®

= 1 - 2 ×

4

2

8

2

2

4

è

ø

è

ø

или x = (y + 1)² + 1 .

Траекторией движения точки является квадратная парабола.

Определим скорость точки через её проекции на оси координат:

dx

p

æ p

ö

VX (t1 )=

3,14

×0,7

@ 1,1см / с ;

VX

=

=

sin

ç

t ÷

;

dt

2

4

2

è

ø

dy

p

æ p

ö

VY (t1 )=

3,14

0

30¢ @ 0,73 см / с ;

VY

=

=

cos

ç

t ÷

;

×cos 22

dt

4

8

4

è

ø

V =

V 2 +V 2 =

1,12 + 0,732 = 1,33 см / с.

X

Y

Ускорение точки:

p 2

æ p

ö

(t 1

)=

3,142

2

aX

=

cos ç

t

÷

;

aX

×0,7 = 0,87

см / с

;

8

4

8

è

ø

aY

= -

p

2

sin

æ p

t

ö

;

aY (t1

)=

3,14

2

× sin 22

0

30¢

= -0,12 см / с

2

;

ç

÷

32

32

è 8

ø

a =

a2

+ a

2

=

0,872

+ (- 0,12)2

= 0,88 см / с2 .

X

Y

Ответ: V = 1,33 см/с; a = 0,88 см/с².

12. Касательное и нормальное ускорения.

При естественном способе задания движения ускорение точки проецируют на естественные оси координат (рис. 2.8).

Естественными осями координат называется совокупность трех взаимно перпендикулярных осей, начало которых совпадает в каждый момент с положением движущейся точки М (рис. 2.8). Одна из этих осей (Мτ) направлена по касательной к траектории точки в сторону положительного отсчета расстояний S, другая (Mn) направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории и третья (Мb) направлена по бинормали так, чтобы она образовывала с первыми двумя осями правую систему координат. Эти оси образуют координатные плоскости (рис. 2.8).

19

Рис. 2.8

Как располагается вектор ускорения по отношению к траектории точки? Если движение прямолинейное, то вектор ускорения направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией является плоская кривая, то вектор ускорения лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону вогнутости кривой. Если же траектория не является плоской кривой, то вектор ускорения лежит в так называемой соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Для пространственной кривой в каждой точке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость; для плоской кривой она совпадает с плоскостью кривой и является общей для всех её точек.

Плоскость, перпендикулярная к касательной, называется нормальной плоскостью. Любая прямая, проведенная в нормальной плоскости через точку М, будет перпендикулярна к касательной и является нормалью к кривой.

20

Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью¹, а нормаль Мb, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью.

Отложим по введенным координатным осям (рис. 2.8) единичные векторы (орты): касательной – τ, главной нормали – п и бинормали – b. Вектор

• ускорения разложим на составляющие по естественным осям координат.

Обозначая через а_τ – проекцию вектора а на касательную, через а_п – его проекцию на главную нормаль и через а_b – его проекцию на бинормаль, можно записать, что

= + + .

Так как скорость V точки всегда направлена по касательной к траектории,

то V = V_τ. Правая часть этого равенства представляет собой произведение двух переменных: V – величины скорости (ее проекции на касательную) и τ – орта касательной²).

Пусть в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость V, а в момент времени t₁ = t+ t приходит в точку М₁ и имеет скорость V₁ (рис. 2.9).

Тогда a = _lim ^DV = _lim^{V1 -V} .

Dt®0 ^Dt Dt®0 ^Dt

Если перейти от векторов к их проекциям, то получим:

at = lim V1t -Vt ;an = lim V1n -Vn .
Dt®0	Dt	Dt®0	Dt

Рис. 2.9

Обозначим угол между V1

и V1t через Dj и

назовем

его

углом

смежности. Введем следующие

обозначения: lim

Dj

= k =

1

,

где

k –

r

DS®0 DS

кривизна кривой, r – радиус кривизны кривой, DS – длина дуги ММ₁.

Находим, что проекции векторов скорости на естественные оси равны:

Vn = 0 ; Vt = V ; V1n = V1 × sin Dj ;

V1t = V1 × cos Dj .

Проекция ускорения на касательную: at

= lim

V1t

-Vt

= lim

V1 × cosDj -V

.

Dt

Dt®0

Dt®0

Dt

Заметим, что в пределе точка М1 стремится занять

положение

М, то есть

D t ® 0 , V1 ® V , Dj ® 0 ,

cos Dj ® 1 .

Получим

at = lim

V1 -V

=

d V

.

d t

Dt®0

Dt

Проекция ускорения на главную нормаль:

an = lim

V1 × sinDj -Vn

= lim

V1 × sinDj

.

Dt®0

Dt

Dt®0

Dt

Правую часть уравнения преобразуем таким образом, чтобы получить отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на произведение Dj × D S . Получим:

^{V ×sin Dj × Dj × DS}

_{a = lim} 1 _.

Известны отношения:

lim V = V ; lim

sin Dj

= 1; lim

Dj

=

1

;

lim

D S

=

dS

= V ,

1

Dj

DS

r

D t dt

тогда

an =

V 2

– нормальное ускорение.

r

Из расчетов следует:

^{d V}

a_t =

— проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от закона изменения скорости по времени;

V ²

^an ⁼ _r

— проекция ускорения точки на главную нормаль (модуль нормального ускорения) равна квадрату ее скорости, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке;

a_b = 0

— проекция ускорения точки на бинормаль равна нулю.

Отсюда следует, что ускорение а точки лежит в соприкасающейся плоскости траектории и его всегда можно разложить на две составляющие, направленные по осям Мτ и Мn (рис. 2.8):

• + .

Составляющая ускорения точки, направленная по касательной к

траектории, называется касательным ускорением;

составляющая ускорения точки, направленная по главной нормали к

траектории, называется нормальным ускорением.

Проекция ускорения точки на главную нормаль всегда положительна,

и потому нормальное ускорение всегда направлено по радиусу к центру

кривизны траектории.

Касательное же ускорение направлено в сторону положительного отсчета

расстояний, если = ⁄ > 0, и в противоположную сторону, если

= ⁄ < 0.

Вектор полного ускорения изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах нормального и касательного ускорений, как на сторонах, и численно равен:

a = a_n² + a_t² .

Отклонение вектора полного ускорения точки от нормали характеризуется углом μ (рис. 2.10):

tg m = ^at

^an

Рис. 2.10

13. Поступательное движение твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, неизменно связанная с этим телом, остается параллельной своему начальному положению в каждый момент времени.

Примерами поступательного движения тела могут служить: движение кузова автомашины, движение поршня двигателя и т. д. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным движением, так как траектории точек тела могут быть любыми кривыми линиями. Так, например, спарник АВ (рис. 3.1) совершает поступательное движение, хотя его точки будут двигаться по окружностям. В самом деле, при вращении кривошипов O₁A и О₂В вокруг их осей O₁ и О₂ положение спарника АВ будет изменяться. Но при равенстве длин кривошипов и при длине спарника, равной расстоянию между осями O₁О₂, четырехугольник O₁AВО₂ будет всегда оставаться параллелограммом, следовательно, спарник АВ всегда параллелен основанию O₁О₂, т. е. он движется, оставаясь параллельным своему начальному положению.

Рис. 3.1

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть твердое тело движется поступательно относительно осей Охyz (рис. 3.2). Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в

момент времени t определяются радиус-векторами r_A и r_B . Проведем вектор AB, тогда r_B = r_A + AB , при этом AB– величина постоянная, а направление АВ также неизменно, т.к. тело движется поступательно. Следовательно, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех её точек на постоянный вектор AB. Это означает, что траектории точек А и В одинаковые.

Для определения скоростей продифференцируем обе части равенства по времени:

d

rB

=

d

rA

+

d AB

, но

d AB

= 0 , тогда VB = V A .

dt

dt

dt

dt

Продифференцировав ещё раз, получим a_B = a_A .

Рис. 3.2

Следовательно, скорости и ускорения точек А и В в любой момент времени одинаковые по модулю и по направлению.

Так как точки А и В выбраны произвольно, то следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения одинаковы в любой момент времени.

Из теоремы следует, что поступательное движение всего тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки. Заметим, что понятие скорости и ускорения тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями и термины «скорость тела» и «ускорение тела» теряют смысл.

14. Вращательное движение твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.

Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными.

Если А и В – неподвижные точки тела (рис. 3.3), то осью вращения является ось Oz, которая может иметь в пространстве любое направление, не обязательно вертикальное.

Все точки, лежащие на оси вращения, будут оставаться неподвижными, а все остальные точки будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения.

Рис. 3.3

Для определения положения вращающегося тела проведем две полуплоскости: неподвижную П_о и полуплоскость П, скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе полуплоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом φ между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол

• называется углом поворота тела. Угол φ положителен, если поворот происходит против хода часовой стрелки (смотря навстречу оси Оz).

Измеряется угол φ в радианах.

При вращении тела вокруг оси z угол поворота тела изменяется с течением времени, следовательно, он является некоторой функцией времени: j = f (t) – и, соответственно, законом вращательного движения твердого тела.

Основными кинематическими характеристиками вращающегося твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение.

Мера изменения угла поворота тела с течением времени называется его угловой скоростью.

Если за время D t = t₁ - t тело совершит поворот на угол Dj = j₁ -j , то

wCP	=	Dj	;	w = lim		Dj	=	dj	.
		D t			Dt ®0 D tdt

Угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота по времени.

Размерность угловой скорости - рад/с, 1/с, с^-1.

Значение угловой скорости тела может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, в какую сторону вращается тело. Когда тело вращается против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения, то Dj > 0, ^Dj > 0 и угловая скорость w положительна. Если

• t

тело вращается по часовой стрелке, то угловая скорость отрицательна. Следо-вательно, знак угловой скорости указывает, в какую сторону в данный момент вращается тело.

На практике часто используют понятие частоты вращения n, об/мин. Нетрудно найти зависимость между w и n. Так как один оборот тела соответствует его повороту на угол в 2p радиан, то

• = ^{2p n} = ^{p n} рад/с.

6030

Всегда w выражается в рад/с, а n – об/мин.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора.

Вектором угловой скорости тела называется вектор, направленный вдоль оси вращения так, чтобы, смотря с его конца, мы видели вращение тела совершающимся против хода часовой стрелки (по правилу правого винта) (рис. 3.4,а и б).

Dt = t₁ - t

Рис. 3.4

Вектор w есть вектор скользящий, т. е. за его начало можно взять любую точку, лежащую на оси вращения тела.

Задание вектора w угловой скорости полностью определяет вращательное движение тела, так как позволяет знать положение оси вращения тела, направление вращения и численное значение угловой скорости.

Если тело вращается неравномерно, то его угловая скорость w изменяется с течением времени и является, следовательно, также некоторой функцией времени.

Величина, характеризующая изменение угловой скорости тела с течением времени, называется его угловым ускорением.

Если за время угловая скорость изменится на величину

Dw = w₁ - w , то

e

=

Dw

;

e = l

Dw

=

dw

=

d 2j

.

CP

Dt

im

Dt

dt

d t

2

Dt®0

Размерность углового ускорения - рад/с2,

1/с2, с-2.

Угловое ускорение тела в

данный момент

времени равно первой

производной от угловой скорости тела по времени или второй производной от угла его поворота по времени.

Если знаки угловой скорости и углового ускорения тела совпадают, то оно вращается ускоренно, если же знаки их различны – замедленно.

15. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Так как при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси расстояние каждой из его точек до оси вращения должно оставаться неизменным, то очевидно, что все его точки описывают в этом движении окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения и радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей точки тела до оси вращения.

Радиусы всех этих окружностей поворачиваются за один и тот же промежуток времени t на один и тот же угол Δφ, равный приращению угла φ поворота тела за этот промежуток времени, но точки, лежащие на разных рас-стояниях от оси вращения опишут при этом дуги различной длины.

Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Аz (рис. 3.5). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, центр которой С лежит на оси вращения. Если за время dt происходит

элементарный поворот тела на угол dj , то точка М совершит вдоль своей траектории перемещение dS = h × dj . Тогда скорость точки будет равна производной V = ^dS = h × ^dj = w × h .

d t d t

Скорость V, в отличие от угловой, называют линейной или окружной скоростью точки М.

Рис. 3.5

Алгебраическое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние данной точки от оси вращения.

Направлен вектор V скорости точки по касательной к траектории точки в сторону вращения тела. Иными словами, этот вектор перпендикулярен к радиусу, соединяющему ось вращения с рассматриваемой точкой.

Так как для всех точек тела угловая скорость в данный момент времени имеет одно и то же значение, то линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Отложим на оси вращения из какой-либо произвольной ее точки О вектор

• угловой скорости тела и из этой же точки проведем радиус-вектор r ,

определяющий положение данной точки тела (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Скорость V любой точки вращающегося твердого тела равна векторному произведению вектора w угловой скорости тела на радиус-вектор r данной точки М (если за начало этого радиуса-вектора взята точка на оси вращения тела):

22. = w ´r .

Из прямоугольного треугольника ОМС: R = r ×sinb , где R – расстояние точки

• до оси вращения. Но V =w × R =w × r × sin b . С другой стороны векторное

произведение по модулю равно:

w	´	r	=	w × r × sin b	®	V =			w	´	r

При любом вращательном движении твердого тела линейная скорость его точек всё время изменяется. При постоянной угловой скорости – по направлению, при изменяющейся угловой скорости – по величине и по направлению. Следовательно, точки вращающегося тела всегда движутся с некоторым ускорением.

Ускорение а точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения точки, может быть разложено на касательное ускорение и нормальное ускорение .

Величина касательного ускорения точки равна произведению углового

ускорения тела на расстояние данной точки от оси вращения:

at	=	dV	=	R × dw	= e × R , м/с2.
		d t
				d t

Модуль нормального ускорения точки равен квадрату угловой скорости тела, умноженному на расстояние данной точки от оси вращения:

_{an =} ^{V 2} ₌ ^{w2 R2} _{= w}2 _{R , м/с}2_.

r R

Нормальное ускорение точки всегда направлено к центру окружности, описываемой точкой. Касательное – всегда по касательной к окружности.

Зная касательную и нормальную составляющие полного ускорения а точки, всегда можно найти величину и направление этого ускорения, изображаемого диагональю прямоугольника, построенного на векторах a_τ и а_п (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Модуль этого ускорения

a = a_n² + a_t² = w⁴ R² +e ² R² = R w⁴ +e ² .

Так как в данный момент времени угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек твердого тела, то ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют с радиусами окружностей угол μ (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой

окружности определяется углом μ:

tg m =

at

=

e

.

an

w2

16. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение траекторий и скоростей точек тела.

Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение имеет огромное распространение в технике. Подавляющее большинство встречающихся на практике механизмов являются плоскими, т. е. представляют собой сочленение твердых тел, совершающих плоское движение.

Примерами такого движения могут служить: движение колеса по прямолинейному пути, движение шатуна кривошипно-ползунного механизма и т.д. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение.

Если данное движущееся тело пересечем плоскостью Ι, параллельной некоторой неподвижной плоскости ΙΙ, то в сечении получим некоторую фигуру

19. (рис. 4.1). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой А₁А₂, перпендикулярной сечению S, движутся одинаково. Точно так же все точки тела, принадлежащие прямой В₁В₂, движутся одинаково. Поэтому при изучении плоского движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры (сечения S) в её плоскости, которое определяется движением двух каких-либо её точек, или движением какого-либо отрезка, взятого в плоскости фигуры.

Рис. 4.1

17. Мгновенный центр скоростей (МЦС). Определения скоростей методом МЦС.