Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Теорема. Абсолютное ускорение точки при произвольном переносном движении равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и некоторого добавочного ускорения, которое называют кориолисовым или поворотным.

a_M = a_r + a_e + a_K .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть движение точки М относительно подвижных осей о₁х₁у₁z₁ определяется уравнениями: x₁ = f₁(t); y₁ = f₂ (t); z₁ = f₃ (t) (рис. 5.5).

Ранее было установлено, что V_M = V_r +V_e .

Рис. 5.5

=

dr1

=

dx1

dy1

×

+

dz1

V

× k

– относительная скорость;

×i

+

j

r

dt

dt

dt

dt

dr

O1

di

+ x

+ y

dj

+ z

dk

– переносная скорость;

V

=

е

dt

1 dt

1 dt

1 dt

dr

dr

dx1

+

dy1

=

=

O1

+

+ x

di

×

+ y

dj

+

dz1

dk

–абсолютная

V

×i

j

× k

+ z

dt

M

dt

dt

dt

1 dt

1 dt dt

1 dt

скорость.

Найдем все составляющие ускорения точки М, продифференцировав по времени векторы относительной, переносной и абсолютной скоростей:

d 2 x

d 2 y

d

2 z

dV

× k ;

a

=

r

=

1

×i

+

1

× j +

1

r

dt

dt2

dt 2

dt2

d 2

r

d 2i

d 2

d 2k

dV

j

a

e

=

e

=

O1

+ x

+ y

+ z

;

dt2

dt 2

dt

dt 2

1 dt2

1

1

d 2

r

d 2 x

dx

di

d 2 y

dy

d 2 z

dV

dj

a

M =

M

=

O1

+

1

×i +

1

×

+

1

× j +

1

×

+

1

× k +

dt

dt2

dt

dt2

dt

dt

dt2

dt 2

dt

dz

d 2i

dx

di

d 2

dy

d 2k

dz

dk

dk

j

dj

+

1

×

+ x

+

1

×

+ y

+

1

×

+ z

+

1

×

.

dt

dt

dt

dt

dt2

dt

dt

1 dt2

dt

1

2

dt

1

dt

Сгруппировав все составляющие полученного уравнения, будем иметь:

æ dx

di

dy

dj

dz

dk ö

a

M

=

a

r

+

a

e

+ 2 ç

1

×

+

1

×

+

1

×

÷ .

dt

dt

dt

dt

è

dt

dt ø

Выясним значение выражения, заключенного в скобках.

Если тело при вращательном движении имеет только одну неподвижную точку, то в каждый момент времени оно будет иметь мгновенную ось вращения О₁р. Отложим на мгновенной оси вращения переносную угловую скорость w_е (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Вектор i можно рассматривать как радиус-вектор точки А относительно полюса

О₁, поэтому V_A = ^d_dtⁱ . С другой стороны, линейная скорость точки А может

быть представлена векторным произведением угловой скорости на радиус-вектор точки:

®

di

=

VA =

we

´i

we ´i

.

dt

Аналогично

dj

=

w

´

dk

=

w

´ k

.

j;

dt

e

dt

e

Тогда получим:

dx1

×

di

+

dy1

×

dj

+

dz1

×

dk

=

dx1

×(

we

)+

dy1

×(

we ´

)+

´i

j

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dz

æ dx

dy

dz

ö

+

1

×(

w

´ k )

=

w

´

ç

1

×i +

1

× j

+

1

× k ÷ =

w

´V .

dt

dt

e

e

è

dt

dt

ø

e

r

æ dx

di

dy

dj

dz

dk ö

Таким образом выражение 2 ç

1

×

+

1

×

+

1

×

÷

= 2

we ´Vr .

dt

dt

è

dt

dt

dt

dt ø

Последний член данного равенства, равный 2( w_e ´V_r ) , носит название ускорения Кориолиса. Обозначая его через a_K , окончательно получаем: a_M = a_r + a_e + a_k . Теорема доказана.

19. Законы динамики.

Закон инерции

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока оно не будет выведено из этого состояния другими телами. Система отсчёта, в которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. В большинстве задач в качестве инерциальной можно принять систему отсчёта, связанную с Землёй.

Основной закон динамики

Ускорение, получаемое точкой под действием силы пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе точки. Направление ускорения совпадает с направлением силы.

или

Из формулы видно, что под действием одной и той же силы точка с большей массой получает меньшее ускорение. Свойство тела сохранять состояние своего движения называется инертностью. следовательно, тело с большей массой обладает большей инертностью.