Мгновенный центр скоростей

Скорость любой точки плоской фигуры в каждый момент времени можно рассматривать как геометрическую сумму двух скоростей: скорости полюса и скорости данной точки от вращения вокруг полюса, причем за полюс может быть взята любая точка фигуры.

При плоском движении твердого тела все его точки имеют разные скорости. Очевидно, что может существовать точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Для определения положения этой точки рассмотрим пример.

Пусть в данный момент скорость какой-либо произвольной точки А

фигуры (рис. 4.7) равна V_A , причем направление вращения фигуры (на рисунке оно указано стрелкой) и угловая скорость ω нам также известны. Восстановим

• точке А перпендикуляр к вектору скорости V_A так, чтобы угол 90⁰ был отсчитан в сторону вращения фигуры, и отложим на нем отрезок AР = ^V_w^A .

Рис. 4.7

Примем точку А за полюс. Тогда скорость точки Р, как и скорость всякой другой точки фигуры при ее плоском движении, будет складываться из скорости V_A полюса А и скорости V_PA точки Р от вращения вокруг этого полюса:

V_P =V_A +V_PA ; V_PA = w × AP = w ×^VA =V_A , w

т.е. он равен модулю скорости V_A полюса. Направлена же скорость V_PA перпендикулярно к отрезку АР в сторону вращения фигуры, т. е. по одной прямой со скоростью V_A полюса, но в противоположную сторону (рис. 4.7). Ясно, что геометрическая сумма двух равных и противоположных по направлению векторов V_A и V_PA равна нулю, а потому в данный момент абсолютная скорость точки Р: V_P = 0 .

При любом движении плоской фигуры, кроме поступательного, всегда можно найти такую точку, лежащую или на самой фигуре, или на её мысленном продолжении, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.

Зная положение мгновенного центра скоростей можно определить скорость любой точки фигуры как скорость во вращательном движении. Скорость любой точки пропорциональна расстоянию до мгновенного центра скоростей, поэтому его ещё называют мгновенным центром вращения. Мгновенный центр вращения – это точка на неподвижной плоскости, с которой в данный момент времени совпадает мгновенный центр скоростей.

Мгновенный центр скоростей в каждый момент времени свой; если он не меняет положения – движение превращается во вращательное. У каждого звена в многозвенном механизме свой мгновенный центр скоростей.

Определение положения мгновенного центра скоростей

1. Скорости двух точек не параллельны.

Если известны направления скоростей двух каких-либо точек фигуры, то мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках к направлениям скоростей (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Определив положение мгновенного центра скоростей Р и зная для рассматриваемого момента скорость одной из точек фигуры по величине, легко найти угловую скорость фигуры, соответствующую этому моменту времени:

w =	VA	=	VB	®	VA	=	AP
								.
	AP		BP		V		BP
					B

Угловая скорость фигуры в каждый момент равна отношению модуля соответствующей этому моменту скорости какой-либо точки фигуры к расстоянию от этой точки до мгновенного центра скоростей.

2. Скорости двух точек параллельны.

а) Скорости двух точек А и В фигуры параллельны, но эти точки не лежат на одном перпендикуляре к направлению их скоростей (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Так как перпендикуляры, восставленные из точек А и В к их скоростям, параллельны, то мгновенный центр скоростей фигуры лежит в бесконечности.

Расстояния точек А и В от мгновенного центра скоростей AP = BP = ¥. Угловая скорость фигуры в данный момент:

w = ^V_¥^A = ^V_¥^B = 0 ,

• вращение фигуры в этот момент, следовательно, отсутствует. А так как всякое плоское движение фигуры можно рассматривать как совокупность поступательного движения со скоростью произвольно выбранного полюса и вращательного движения вокруг этого полюса, то абсолютные скорости точек фигуры в рассматриваемом случае равны только скорости полюса. Другими словами, в этом случае фигура совершает в данный момент поступательное³

движение, и скорости всех ее точек равны между собой: V_A = V_B по величине и по направлению.

б) Скорости двух точек А и В фигуры параллельны, и эти точки лежат на одном перпендикуляре к направлению их скоростей (рис. 4.10).

Рис. 4.10

• данном случае перпендикуляры, восставленные в точках А и В фигуры

• направлениям их скоростей, сливаются в одну прямую, и для определения

положения мгновенного центра скоростей нужно знать скорости двух точек фигуры не только по направлению, но и по модулю.

Мгновенный центр скоростей всегда лежит на перпендикуляре, восставленном в любой точке фигуры к направлению ее скорости. Если провести прямую через концы векторов скоростей этих точек, то она пересечет отрезок АВ в точке Р, являющейся мгновенным центром скоростей фигуры (рис. 4.10). Так как модули скоростей различных точек фигуры в каждый момент пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра, то положение точки Р на перпендикуляре может быть найдено из пропорции

AP / BP =V_A / V_B .

3. Качение без скольжения.

При качении без скольжения контура фигуры по неподвижной кривой мгновенным центром скоростей будет точка касания этого контура с неподвижной кривой (рис. 4.11).

Рис. 4.11

В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательно движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

18. Сложное движение точки. Сложение скоростей и ускорений.