Сложное движение точки

До сих пор мы рассматривали движение точки по отношению к некоторой системе координат, которую считали неподвижной. Представим теперь, что наблюдаем движение точки по отношению к некоторой системе координат, которая сама движется относительно осей, принимаемых за неподвижные. Например, если человек движется по палубе теплохода, то он одновременно участвует в двух движениях: относительно палубы теплохода и относительно берега. Аналогичных примеров можно привести очень много. Такое составное, сложное движение точки изучают, рассматривая его как совокупность составляющих его простых движений.

Рассмотрим сложное движение точки, перемещающейся по отношению к подвижной системе х₁о₁у₁, которая, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчета хоу, условно принятой за неподвижную.

Движение точки по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную, называется абсолютным движением. Скорость точки в

абсолютном движении называется абсолютной скоростью V_абс. , а ускорение – абсолютным ускорением а_абс. .

Абсолютное движение точки бывает удобно рассматривать как сложное движение, состоящее из двух одновременных движений: движения точки по отношению к некоторой подвижной системе отсчета и движения точки вместе

• подвижной системой отсчета по отношению к системе, принимаемой за неподвижную.

Так, например, движение какой-либо точки М по желобу тележки относительно Земли (рис. 5.1). Его можно считать состоящим из двух движений: движения точки по прямой по отношению к корпусу тележки и движения этой точки вместе с поступательно движущимся корпусом тележки.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным движением.

Траектория, которую описывает точка в относительном движении, называется относительной траекторией (в нашем случае движение точки М по желобу тележки). Скорость движения вдоль этой траектории называется относительной скоростью V_r . Изменение относительной скорости характеризуется относительным ускорением a_r .

Рис. 5.1

Движение подвижной системы отсчета и всех неизменно связанных с ней точек по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную, называется переносным движением.

Переносной скоростью точки М называется скорость той точки, неизменно связанной с системой подвижных осей, с которой в данный момент времени совпадает точка М (в нашем случае движение точки М вместе с поступательным движением корпуса тележки). Обозначается переносная

скорость V_e , а переносное ускорение a_e .

Теорема о сложении скоростей

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей

V_M = V_r +V_e .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть движение точки М относительно подвижных осей о₁х₁у₁z₁ определяется уравнениями: x₁ = f₁(t); y₁ = f₂ (t); z₁ = f₃ (t) .

Рис. 5.2

Положение точки О₁ и точки М в осях координат определяется соответствующими радиус-векторами r ,r_O1 ,r₁ .

Из векторного треугольника ОО₁М имеем: r = r_O1 + r₁ , где r₁ = x₁ ×i + y₁ × j + z₁ ×k .

Чтобы получить величину скорости точки М, необходимо взять производную по времени от радиус-вектора r. Принимая во внимание, что при непоступательном переносном движении единичные векторы i , j ,k непрерывно изменяют своё направление и, следовательно, являются переменными величинами, получим:

=

dr

=

dr

O1

+

dx1

di

+

dy1

×

+ y

dj

+

dz1

×

+ z

dk

.

V

k

×i

+ x

j

dt

dt

M

dt

1 dt

dt

1 dt dt

1 dt

Относительная скорость равна:

=

dr1

=

dx1

+

dy1

×

+

dz1

V

× k

.

×i

j

r

dt

dt

dt

dt

Переносной скоростью точки М называется скорость той точки, неизменно связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент времени совпадает точка М, поэтому нужно считать её координаты х₁у₁z₁ постоянными.

Переносная скорость равна: Vе = ^drO1 + x1 ^di + y1 ^dj + z1 ^dk .

dt dt dt dt

Следовательно, V_M =V_r +V_e , теорема доказана.

Чтобы определить относительную скорость, нужно мысленно остановить переносное движение; для определения переносной скорости – относительное движение.

Направление и величина скорости абсолютного движения определяется диагональю параллелограмма (рис. 5.3), построенного на векторах относительной и переносной скоростей, как на сторонах:

V_M = V_r² +V_e² + 2V_r V_e cosa .

Рис. 5.3

Спроецировав равенство V_M =V_r +V_e на оси координат, получим:

VМх = Vrх +Vех ; VМу = Vrу +Vеу; VМz = Vrz +Vеz.