Задание

Вариант 1

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(1; 2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. В воде с температурой С в течение 10 минут тело охлаждается от до С. До какой температуры охладится тело за 30 минут, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды?

Вариант 2

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 1) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Температура воздуха . Известно, что за 30 минут тело охладится от до С. Какой будет температура через час после первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды?

Вариант 3

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 1) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Температура воздуха . Известно, что за 40 минут тело охладится от до С. Какой будет температура через 30 минут после первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, когда температура тела станет равной ?

Вариант 4

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Задача 2. Вода в открытом резервуаре сначала имела температуру . Через 10 минут температура воды стала , температура окружающей среды С. Определите температуру воды в резервуаре через 30 минут от первоначального измерения, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, когда температура воды в резервуаре станет равной ?

Вариант 5

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(0;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.

Задача 2. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Определите: скорость вращения диска в момент t = 120 с, если при t = 0 он вращался со скоростью 12 рад/с, а при t = 10 с его скорость стала 8 рад/с; момент времени, скорость диска окажется равной 1 рад/с.

Вариант 6

Задача 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(1;2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен .

Задача 2. Замедляющее трение на диск, вращающейся в жидкости, пропорционально угловой скорости. Определите: в какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2 рад/с, если при t = 0 он вращался со скоростью 20 рад/с, а при t = 8 с его скорость стала 16 рад/с; скорость вращения диска в момент времени t = 12 с.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. В чем состоит задача Коши?

3. Объясните геометрический смысл общего решения дифференциального уравнения.

4. Объясните геометрический смысл частного решения.

Литература:

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 245 – 248.

4. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 174 – 179.

Практическое занятие № 10

Определение сходимости числовых и функциональных рядов

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны определять сходимость числовых рядов, применяя признаки сходимости, находить интервал сходимости функциональных рядов.

Пояснения к работе

Пусть где u_n= f(n) - бесконечная числовая последовательность.

Выражение называют бесконечным числовым рядом, а числа – членами ряда; u_n= f(n) называется общим членом. Ряды часто записывают в виде .

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через и называют n-ой частичной суммой ряда: .

Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма при неограниченном возрастании n стремиться к конечному пределу, т. е. если . Число S называют суммой ряда.

Если же n-я частичная сумма ряда, при не имеет конечного предела, то ряд называют расходящимся.

Ряд , составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, называют геометрическим. Он является сходящимся при и имеет сумму , если же , то геометрический ряд расходится.

Ряд называют гармоническим, он расходится.