Точки перегиба графика функции

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называют промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вверх или вниз кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке, если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Точку графика функции , разделяющую промежутки выпуклости противоположных направлений, называют точкой перегиба. Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба.

Правило нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции .

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции по второй производной, т. е. точки в которых вторая производная обращается в нуль или не существует (терпит разрыв).

3. Определить знак второй производной в каждом промежутке, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом, если на промежутке ( ), то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз (вверх). Точка является точкой перегиба графика функции, если она разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений.

4. Вычислить значение функции в точках перегиба.

Пример. Найти точки перегиба кривой и промежутки выпуклости графика функции .

Решение. Область определения этой функции – все множество действительных чисел, т. к. функция задана многочленом. Найдем вторую производную данной функции , .

Найдем критические точки по второй производной. Втора производная определена на всем множестве действительных чисел. Найдем нули второй производной. , .

Определим знак второй производной на каждом промежутке, результаты внесем в таблицу.

		2
	+	0	–
	График функции выпуклый вниз	16 Точка перегиба	График функции выпуклый вверх

Физический смысл производной.

Производная есть скорость изменения функции в точке х. Вторая производная есть скорость изменения скорости функции в точке х, т. е. вторая производная функции есть ее ускорение.

Электрический ток – скорость изменения заряда, т.е. производная от заряда по времени .

Электромагнитная мощность – скорость изменения электромагнитной энергии, т.е. производная от электромагнитной энергии по времени .

Пример. Сила тока изменяется в зависимости от времени t по закону ( – в амперах, t – в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце восьмой секунды.

Решение. Скорость изменения силы тока есть производная силы тока по времени. . .

Задание

Вариант 1

Задача 1. Изменение силы тока в зависимости от времени дано уравнением А/с. Найти скорость изменения силы тока в конце десятой секунды.

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 2

Задача 1. Изменение силы тока в зависимости от времени дано уравнением А/с. Найти скорость изменения силы тока в конце шестой секунды.

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 3

Задача 1. Закон изменения температуры Т в зависимости от времени задан уравнением . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вариант 4

Задача 1. Закон изменения температуры Т в зависимости от времени задан уравнением . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени ?

Задача 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Вариант 5

Задача 1. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

Задача 2. К источнику постоянного тока с электродвижущейся силой Е и внутренним сопротивлением подключено внешнее сопротивление . При каком мощность, выделяемая во внешней цепи, будет максимальной, если и ? Построить график мощности.

Вариант 6

Задача 1. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Задача 2. Из N одинаковых элементов можно различными способами составить батарею, соединяя n элементов последовательно, а затем полученные группы (числом ) – параллельно. Определить при каком значении n батарея даст наибольший ток, если электродвижущая сила одного элемента Е, внутреннее сопротивление и внешнее сопротивление , величина тока в цепи .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Что можно сказать о движении, если тело движется прямолинейно по закону S=S(t) и а) S’(t)=1; б)S’(t)=2t?

2. В чём заключается физический и геометрический смысл производной?

3. Как выяснить монотонность функции?

4. Как найти экстремумы функции?

5. Как связана сила тока с величиной заряда, протекающего по проводнику?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 100 – 115.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 104 – 106.

Практическое занятие № 5

Интегрирование простейших функций. Вычисление простейших определенных интегралов.

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь применять свойства неопределенных и определенных интегралов, формулы интегрирования для нахождения неопределенных интегралов и вычисления определенных интегралов.

Пояснения к работе

Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка её производная равна : .

Отыскание первообразной функции по заданной её производной есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции называют неопределенным интегралом и обозначают символом . Таким образом, . Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. .

2. ; .

3. .

4. .

Основные формулы интегрирования

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. .

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов, свойств интегралов. Не всегда сразу можно применить таблицу интегралов, часто вначале для данной подынтегральной функции применяют элементарные тождественные преобразования, затем применяют свойства интегралов и только потом табличные интегралы.

Например,

Замена переменной.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Формула замены переменной имеет вид где .

Найти следующие интегралы.

1) .

2) .

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно, не производя подробного решения методом подстановки, использовать формулу . Например, , , .