Задание

Вариант 1

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Вариант 2

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Вариант 3

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Вариант 4

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Вариант 5

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Вариант 6

Задача 1. Определите сходимость ряда: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Найдите радиус и интервал сходимости ряда .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы Контрольные вопросы.

1. В чем разница между сходящимся рядом и расходящимся?

2. Как применяют необходимый признак сходимости числовых рядов?

3. Как применяют признак Даламбера?

4. Как применяют признак Лейбница?

5. Какой ряд называется условно сходящимся?

6. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

7. Какова связь между радиусом сходимости степенного ряда и его интервалом сходимости?

Литература:

5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 391 –408.

6. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 199 – 224.

Практическое занятие № 11

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена и в ряд Фурье

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь разложить функцию в ряд Маклорена и в ряд Фурье.

Пояснения к работе

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде степенного ряда.

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки , то разложение функции по степеням имеет вид: .

Говорят, что функция разложена в ряд Маклорена.

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

1. Найти производные , , ,…, ,…;

2. Вычислить значения производных в точке ;

3. Составить ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости

4. Найти интервал ), в котором остаточный член ряда Маклорена при .

№	Разложение функции в ряд Маклорена	Интервал сходимости степенного ряда и область определения функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся в ряд Маклорена функции : . Заменим в этом разложении на , получим

или . Разложение справедливо при любом , поэтому ряд Маклорена для функции сходится к порождающей его функции на всей его оси.