Задание

Вариант 1

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3 при x = 2.

Вариант 2

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 2 при х =1.

Вариант 3

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 2 при х = 1.

Вариант 4

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 3 при x = 2.

Вариант 5

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 0 при x = 1.

Вариант 6

Задача 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) , б) .

Задача 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию: , если y = 0 при x = 0.

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

• название темы практического занятия;

• цели практического занятия;

• условие задачи;

• подробное решение задачи;

• ответ.

Контрольные вопросы

1. Каков алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

2. Каков алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений?

3. Что является решением дифференциального решения?

4. Как находят частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и однородного дифференциального уравнения первого порядка?

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 243 – 245

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 160 – 167.

Практическое занятие № 8

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь приводить линейные дифференциальные уравнения первого порядка к уравнению с разделяющимися переменными; уметь составлять и решать характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и применять соответствующую формулу для нахождения общего решения дифференциального уравнения; находить частное решение.

Пояснения к работе

Уравнение вида или , где и – функции переменной х, называют линейным дифференциальные уравнения первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и – новые функции от переменной .

Если выполнить подстановку , то и уравнение примет вид

Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения (*)

Найдем функцию из условия равенства нулю выражения .

. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; , где – первообразная функции . Значит, . Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; . Тогда искомая функция равна .

Найти частное решение уравнения: , если .

Решение: данное уравнение является линейным. Пусть , тогда и уравнение примет вид . Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения . (*)

Найдем функцию из условия равенства нулю выражения . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части уравнения ; , т. е. . Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные . Проинтегрируем обе части

уравнения ; . Тогда искомая функция равна – общее решение. Найдем частное решение, для чего найдем С. , . Значит, частное решение – .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение вида или , где p и q – постоянные величины.

Для отыскания общего решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение , которое получается из данного уравнения заменой , и на соответствующую степень переменной , причем сама функция заменяется единицей.

Общее решение данного уравнения строится в зависимости от корней характеристического уравнения. Возможны три случая:

1). Дискриминант уравнения положительный, т. е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня и . В этом случае общее решение уравнения имеет вид

2). Дискриминант уравнения равен нулю, т. е. характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня = = . В этом случае общее решение уравнения имеет вид .

3). Дискриминант уравнения отрицательный, т. е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и . В этом случае общее решение уравнения имеет вид .

Найти частное решение уравнения , если и при .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни , , значит, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня: и . Общее решение уравнения имеет вид .

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных и . Найдем производную общего решения . Подставим начальные условия в общее решение и в его производную, получим систему уравнений: , , . Значит, по формулам Крамера , . Следовательно, частное решение имеет вид – .