Градиент
Градиентом
скалярного поля
называется вектор, обозначаемый
или
,
проекциями которого на оси координат
служат значения частных производных
:
Физический смысл: Градиент функции есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания функции , а его модуль равен наибольшей скорости изменения функции в определенной точке.
Если в каждой точке области задан определенный вектор, то говорят, что в этой области задано векторное поле.
Поток вектора
Пусть
векторное поле образовано вектором
.
Возьмем
в этом поле некоторую поверхность
и выберем на ней определенную сторону.
Обозначим через
единичный вектор нормали к рассматриваемой
стороне поверхности в произвольной ее
точке; проекциями вектора
служат направляющие косинусы нормали
.
Рассмотрим интеграл по поверхности S
от скалярного произведения вектора
поля А(Р)
на единичный вектор нормали n:
|
|
(1.1) |
|
|
|
Если
– поле скоростей текущей жидкости, то
интеграл (1.1) выражает поток жидкости
через поверхность S.
В произвольном векторном поле интеграл
(1.1) будем называть потоком вектора через
поверхность
и обозначим буквой
.
Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:
Таким
образом, вычисление потока вектора
сводится к вычислению интеграла по
поверхности. Из определения следует,
что поток вектора
– величина скалярная. Если изменить
направление нормали
на противоположное, т.е. переменить
сторону поверхности
,
то поток
изменит знак.
Особый
интерес представляет случай, когда
– замкнутая поверхность, ограничивающая
некоторую область
.
Если рассматривается внешняя нормаль,
то мы будем говорить о потоке изнутри
поверхности
.
Он обозначается так:
Когда векторное поле представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Ω, и количеством жидкости, поступающей в эту область.
Если
,
то в область
жидкости втекает столько же, сколько и
вытекает. Так,
например, будет для любой области,
расположенной в потоке воды, текущей в
реке.
Если же величина отлична от 0, например, положительная, то из области жидкости вытекает больше, чем втекает. Это означает, что в области имеются источники, питающие поток жидкости. Наоборот, если величина отрицательна, то это указывает на наличие стоков – мест, где жидкость удаляется из потока.
Дивергенция
Рассмотрим
некоторую точку
векторного поля
находящуюся внутри области, ограниченной
замкнутой поверхностью
,
целиком содержащейся в поле. Вычислим
поток вектора через поверхность
и
возьмем отношение этого потока к объему
области
,
ограниченной поверхностью
:
В
поле скоростей жидкости это отношение
определяет количество жидкости,
возникающее в единицу времени в области
,
отнесенное к единице объема, т.е., как
говорят, среднюю объемную мощность
источника; если поток изнутри поверхности
меньше
,
то соответственно говорят о мощности
стока.
Найдем теперь предел отношения
при условии, что область стягивается в точку , т.е., стремится к .
Если этот предел положителен, то точка называется источником, а если отрицателен, то стоком. Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. В первом случае в любом бесконечно малом объеме, окружающем точку , жидкость возникает, а во втором случае исчезает. Предел этот называется дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке .
Дивергенцией, или расходимостью векторного поля в точке называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку , к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку .
Дивергенцию
поля обозначают символом
. Таким образом,
где предел вычисляется при условии, что поверхность стягивается к точке .
Математически дивергенцию можно выразить следующим образом:
где значения частных производных берутся в точке .