Циркуляция

Пусть векторное поле образовано вектором .

Возьмем в этом поле некоторую линию и выберем на ней определенное направление. Обозначим через вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги. Направление касательной считается совпадающим с выбранным направлением на линии.

Рассмотрим криволинейный интеграл по линии от скалярного произведения векторов и :

		(1.2)

В силовом поле интеграл (1.2) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии .

Если – произвольное векторное поле, а – замкнутый контур, то интеграл (1.2) носит специальное название – циркуляция вектора.

Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру:

Физический смысл циркуляции вектора в случае, когда – поле скоростей текущей жидкости: примем для простоты, что контур - окружность, расположенная в некоторой плоскости. Предположим, что окружность является периферией колесика с радиальными лопатками, способного вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Если циркуляция будет равна 0, то колесико будет оставаться неподвижным: силы, действующие на лопатки, уравновешивают друг друга. Если циркуляция не равна 0, то колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции.

Ротор

Ротором векторного поля или вихрем называется вектор

Проекция этого вектора на любое направление дает предел отношения циркуляции вектора поля по контуру, лежащему в плоскости, проходящей через точку , к площади, ограниченной этим контуром. Этот предел будет наибольшим в том случае, когда направление нормали совпадает с направлением .

Введенные нами основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор удобно представлять с помощью символического вектора («набла-вектор»), называемого оператором Гамильтона (Гамильтонианом):

1. Произведение набла-вектора на скалярную функцию дает градиент этой функции:

2. Скалярное произведение набла-вектора на векторную функцию дает дивергенцию этой функции:

3. Векторное произведение набла-вектора на векторную функцию дает ротор этой функции:

Оператор Лапласа – это оператор вида:

2 Два подхода к описанию движения сплошной среды

Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчета - системе координат.

Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянные значения, называются координатными линиями.

Если координатные линии – прямые, то это прямолинейная система координат, если нет, то криволинейная.

2.1 Пространственные и материальные координаты

Пространственная система координат – это система, относительно которой изучается движение. Координаты точек среды в пространственной системе координат называются пространственными координатами, или эйлеровыми координатами (по имени знаменитого ученого XVIII века Леонарда Эйлера, 1707-1783 гг.). Мы будем обозначать их , , , или (в случае декартовой системы координат).

Знать движение среды означает знать, как меняются со временем пространственные координаты всех ее точек, то есть знать функции, задающие зависимость пространственных координат точек среды от времени:

(2.1)

Разные точки среды движутся по-разному, поэтому для различных точек среды эти функции могут быть различными. Чтобы выделить индивидуальные точки среды, можно, задать значения их пространственных координат в начальный момент времени в качестве метки (имени частицы). При движении среды пространственные координаты индивидуальных точек среды являются функциями времени и «имени» точки:

(2.2)

Для параметров, выделяющих индивидуальные точки, часто используют обозначения . Если в качестве этих параметров взяты пространственные координаты точек в начальный момент времени, то , , .

Параметры , которые выделяют индивидуальную точку, называются материальными координатами или лагранжевыми координатами (по имени знаменитого ученого XVIII века Жозефа Луи Лагранжа, 1736-1813 гг.). Для индивидуальной точки лагранжевы координаты не меняются в процессе движения.