2.6 Установившееся и неустановившееся движение

Понятия установившегося (стационарного) и неустановившегося (нестационарного) движения используются при эйлеровом описании. Движение называется установившимся или стационарным, если в каждой точке пространства, через которое движется среда, все характеристики происходящих процессов не меняются со временем. Это означает, что частные производные по времени от всех параметров при постоянных пространственных координатах (то есть локальные производные) равны нулю:

(2.14)

Часто (хотя и не всегда) при неменяющихся внешних условиях движение является установившимся. Подчеркнем, что равенство нулю локальных производных по времени не означает, что параметры в индивидуальных частицах не меняются. Полные (индивидуальные) производные по времени могут быть при этом отличны от нуля. Например, при обтекании тел потоком жидкости с постоянной скоростью движение установившееся, но ускорение частиц не равно нулю: при подходе к телу частицы тормозятся, меняют направление своего движения, потом разгоняются и так далее.

Если движение установившееся, то: 1) линии тока не меняются со временем, 2) траектории совпадают с линиями тока.

Замечание. Понятие стационарности относительно. Например, в системе отсчета, связанной с летящим с постоянной скоростью самолетом, параметры воздуха вокруг самолета не зависят от времени, движение в этой системе установившееся. В системе отсчета, связанной с землей, это же движение является неустановившимся.

Силы в сплошной среде. Тензор напряжения

3.1 Силы, действующие на сплошную среду. Вектор напряжения

Силы, действующие на сплошную среду, делятся на массовые и поверхностные.

Массовые силы – это силы, которые действуют на каждую частицу внутри среды, и для малой частицы сила пропорциональна ее массе.

Примеры массовых сил: силы тяжести, электромагнитные силы.

Пусть – массовая сила, которая действует на малый объем с массой . Введем плотность массовых сил (то есть силу, приходящуюся на единицу массы) так:

(3.1)

На бесконечно малую частицу с массой действует массовая сила . Сумма массовых сил, действующих на весь объем , равна .

Например, для плотности сил тяжести имеем:

где – ускорение силы тяжести.

Поверхностные силы – это силы, приложенные в точках поверхности среды; для малого элемента поверхности они пропорциональны площади этого элемента.

Примеры поверхностных сил: давление, трение.

Пусть – поверхность объема (рисунок 3.1). Обозначим через малый элемент поверхности, - нормаль к этому элементу поверхности, направленная во внешнюю сторону, то есть в ту сторону, откуда действует внешняя сила. Пусть к этой площадке приложена поверхностная сила .

Рисунок 3.1 – Вектор напряжений

Плотность поверхностной силы или вектор напряжений

(3.2)

Подчеркнем, что индекс в обозначении указывает лишь ориентацию площадки (определяемую вектором нормали к ней), на которой действуют векторы и , а не направление этих векторов. В общем случае не направлен по нормали к площадке. Например, если поверхностная сила на площадке с нормалью есть сила трения, то направлен по касательной к этой площадке. Нормаль считается направленной во внешнюю сторону по отношению к части среды.

Поверхностная сила, действующая на бесконечно малую площадку с нормалью и площадью равна , а суммарная поверхностная сила, действующая на всю поверхность , равна .