4.3. Планируемая и фактическая стоимость инвестиций. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.
1. Дана 10%-ная купонная облигация номиналом
100д.е. с ежегодными купонами, до погашения
которой остается три года. Все безрисковые
процентные ставки одинаковы и равны
10%. Определить: а) планируемую и фактическую
стоимости инвестиции в облигацию в
момент времени
,
если сразу же после покупки все безрисковые
ставки стали равны 11%; б) время когда
планируемая и фактическая стоимость
инвестиции совпадут; в) дюрацию облигации
в момент покупки.
Ответ: a)
;
;б)
2,734;
в)
2,736.
2. Дана 6% -ная купонная облигация номиналом
1000 д.е. с полугодовыми купонами, до
погашения которой остается 3 года. Все
безрисковые процентные ставки равны
8%. Найти: 1) дюрацию облигации
и
планируемую стоимость инвестиции в нее
на момент времени
;
2) фактическую стоимость этой инвестиции
в облигацию на момент
,
если сразу же после покупки облигации
безрисковые процентные ставки составят:
а) 7%; б)9%; 3) время, когда фактическая и
планируемая стоимости этой инвестиции
совпадут для а) 7% и б) 9%.
Ответ: 1)
;
;
;
2a)
;
2б)
;
3)
;
.
3. Имеется 10%-ная купонная облигация
номиналом 1000 д.е., по которой выплачиваются
купоны 4 раза в год. До погашения облигации
остается 10 лет. Безрисковые процентные
ставки, при начислении процентов 4 раза
в год, равны 10%. Найти фактическую
стоимость инвестиции в облигацию на
момент равный дюрации
,
если сразу же после покупки облигации
безрисковые процентные ставки изменятся
на
.
Ответ: 6,432586.
|
|
|
-2% |
1136,7774 |
1829,1729 |
-1% |
1065,4838 |
1888,8058 |
-0,5% |
1032,0495 |
1887,9629 |
0 |
1000 |
1887,6816 |
0,5% |
969,2719 |
1887,9634 |
1% |
939,8047 |
1888,8095 |
2% |
884,4261 |
1892,2031 |
4. Дана 9%-ная купонная облигация номиналом
1000 д.е. с полугодовыми купонами, когда
до погашения остается 5 лет. Все
безрисковые процентные ставки равны
9%. Найти: 1) дюрацию облигации
и планируемую стоимость инвестиции в
нее на момент
;
2) фактическую стоимость данной инвестиции
на момент
,
если сразу же после покупки облигации
безрисковые процентные ставки станут
равны a)8%;б) 10%;3) время,
когда фактическая стоимость инвестиции
совпадет с планируемой при условии:
и
.
Ответ: 1)
;
;
;2a)
;
;2б)
;
;
3)
;
.
Раздел 5 . Портфель Марковица, Тобина, cml, sml
Задание 5.1. Для портфеля из 6 акций из задания 4 построить эффективную границу. (Портфель Марковица) в случае запрета коротких продаж и в случае отсутствия такого запрета. На одном рисунке построить графики эффективных границ в случае запрета и отсутствия запрета на короткие продажи.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Индекс |
t |
AMR |
BS |
GE |
HR |
MO |
UK |
SP500 |
1 |
-35,05% |
-11,54% |
-42,46% |
-21,07% |
-7,58% |
23,31% |
-26,47% |
2 |
70,83% |
24,72% |
37,19% |
22,27% |
2,13% |
35,69% |
37,20% |
3 |
73,29% |
36,65% |
25,50% |
58,15% |
12,76% |
7,81% |
23,84% |
4 |
-20,34% |
-42,71% |
-4,90% |
-9,38% |
7,12% |
-27,21% |
-7,18% |
5 |
16,63% |
-4,52% |
-5,73% |
27,51% |
13,72% |
-13,46% |
6,56% |
6 |
-26,59% |
1,58% |
8,98% |
7,93% |
2,15% |
22,54% |
18,44% |
7 |
1,24% |
47,51% |
33,50% |
-18,94% |
20,02% |
36,57% |
32,42% |
8 |
-2,64% |
-20,42% |
-2,75% |
-74,27% |
9,13% |
4,79% |
-4,91% |
9 |
106,42% |
-14,93% |
69,68% |
-26,15% |
22,43% |
4,56% |
21,41% |
10 |
19,42% |
36,80% |
31,10% |
186,82% |
20,66% |
26,40% |
22,51% |
|
20,32% |
5,31% |
15,01% |
15,29% |
10,25% |
12,10% |
12,38% |
Математическая формулировка для
построения эффективной границы при
возможности коротких продаж:
;
изменяя
;
ограничения:
;
.
Алгоритм построения: при возможности коротких продаж
1) Найти ковариационную матрицу
для
первых 6 активов с помощью СЕРВИС, АНАЛИЗ
ДАННЫХ, КОВАРИАЦИЯ. Примечание: матрица
симметричная.
2) Вычислить
и
:
с помощью функций СРЕДЗНАЧ() и ДИСП()^0,5;
3) вычислить min и мах : с помощью МИН и МАКС;
4) в 6 –и ячейках x1,x2…x6 (столбец – вектор X) набрать 0,1 в 7-й ячейке сумма первых 6;
5) в 6 –и ячейках x1,x2…x6 (строка – транспортированный вектор XT) последовательно приравнять значения;
6) в выбранной Вами ячейке написать rp=
– это доходность портфеля из 6 активов,
с помощью СУММПРОИЗВ();
7) выделить 6 ячеек – вызвать МУМНОЖ(),
указать – 1-й массив – матрица V;
2-й массив – вектор столбец X;
это промежуточный результат
;
8) в выбранной ячейке вычислить дисперсию
портфеля
;
-с помощью МУМНОЖ(), 1-й массив это Х, 2-й
массив это промежуточный результат
;
9) вызываем ПОИСК РЕШЕНИЯ , целевая функция к минимуму; изменяя X, ограничения сумма X=1: ; значение доходности портфеля =6%.
10) последовательно вызвать ПОИСК РЕШЕНИЯ для значений = от 6% до 20%.
11) сформировать таблицу из
(первый
столбец) и соответствующих значений
;
12) Вызвать точечный график и построить эффективную границу портфеля Марковица в случае отсутствия запрета на короткие продажи.
Алгоритм построения: при запрете коротких продаж
Математическая формулировка:
;
изменяя
;
ограничения:
;
.
Алгоритм: тот же, что и в случае возможности
коротких продаж с учетом дополнительного
ограничения
.
Задание 5.2. Касательный портфель.
На основе данных таблицы – для первых
6 активов найти касательный (рыночный)
портфель при заданном значении безрисковой
процентной ставки
=8%,
в случае запрета коротких продаж и в
случае отсутствия такого запрета.
Задание 5.3.
Портфель Тобина. Для портфеля из
6 акций из задания 3 построить эффективную
границу для безрисковой ставки равной
rf=8%. (Портфель Тобина),
случае запрета коротких продаж и в
случае отсутствия такого запрета.
Портфель Тобина можно считать линией
рынка капитала –CML- это
прямая линия в пространстве
из точки (rf,0) через точку
(
.
Задание 5.4.
Представление портфеля в виде двух
портфелей. Каждая точка на
линии рынка капитала CML***
соответствует вложению в безрисковую
ставку rf в размере x0
и вложению в рыночный портфель с
доходностью rm в размере
(1-x0). В результате имеем
для CML соотношение
.
Отсюда вложение в безрисковую ставку
.
Найти вложения в безрисковую ставку
и, соответственно, вложения в рыночный
портфель
для значений CML задания
3.
***Линия рынка капитала CML-
это прямая линия в пространстве
из точки (rf,0) через точку
(
.
.
Копировать данные из портфеля Марковица
и наложить на этот график линию
,
вычисленную для тех же самых значений
.
Задание 5.5. Коэффициент бета ценной бумаги.
По данным таблицы задания 3 найти
коэффициент бета*** для каждой из 6 акций
рассматривая индекс SP500
в качестве рыночного портфеля. Коэффициент
бета ценной бумаги
вычисляется с помощью функции ковариации.
***Коэффициент бета ценной бумаги вычисляется с помощью функции ковариации.
Задание 5.6. Линия рынка ценных бумаг SML.
Для портфеля из задания 3 построить
линию рынка ценных бумаг SML***
с учетом значений коэффициента бета
из задания 7. С помощью функции ЛИНЕЙН
найти коэффициенты
на основе данных.
.
На основе полученных оценок
построить линию SML для
от 0,25 до 1,5 с шагом 0,05.
*** С помощью функции ЛИНЕЙН найти коэффициенты на основе данных
. На основе полученных оценок построить линию SML для от 0,25 до 1,5 с шагом 0,05.
Задание 5.7. Оценка доходности ценной бумаги.
Найти доходность ценной бумаги, если
безрисковая процентная ставка равна
6%, значение доходности индекса 11%,
коэффициент бета этой ценной бумаги
равен 1,2:
.
Задание 5.10. Коэффициент альфа ценной бумаги.
Найти для каждой ценной бумаги из таблицы
задания 1 теоретическую доходность***
на основе ранее вычисленных коэффициентов
:
.
***Вычислить коэффициенты
для каждой ценной бумаги считая, что
фактическая доходность равна средней
.
(Если
,
то актив недооценен рынком и его следует
покупать и, наоборот).
Задание 5.11. Работа с реальными данными.
1) Зайти на сайт www.finam.ru
2) В качестве перспективных российских акций, для инвестирования средств в портфель ценных бумаг выбрать акции: ВТБ, ГАЗПРОМ, ЛУКОЙЛ, НОРНИКЕЛЬ, РАО ЕС, РОСНЕФТЬ, РОСТЕЛЕКОМ, РУСГИДРО, СБЕРБАНК, СУРГУТНЕФТЕГАЗ, УРАЛКАЛИЙ, АЭРОФЛОТ, АВТОВАЗ, БАНК МОСКВЫ, МОСЭНЕРГО, РТС.
3) Скачать данные за период 2001 -2017 месячные данные в формате csv
4) Преобразовать данные – изменить дату на основе выражения
ДАТА(ЛЕВСИМВ(С2Ж4)ЖЛЕВСИМВ(ПРАВСИМВ(С2;4);2);ПРАВСИМВ(C2;2))
И цену закрытия по каждой акции.
5) На выходе получим таблицу
Дата |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
S7 |
S8 |
S9 |
S10 |
S11 |
S12 |
S13 |
S14 |
S15 |
S16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь s1-s15 – цена акции на момент закрытия s16-индекс РТС
6) Найти ковариационную матрицу для 15 акций
7) построить портфель Марковица с запретом на короткие продажи и без запрета
8) Провести анализ с целью отбора акций ( практически для всех значений положительной доходности ряд акций в состав портфеля не включается). Аналогичные результаты дает анализ портфеля Марковица в случае отсутствия запрета на короткие продажи.
9) Вычислить ковариационную матрицу для рекомендуемых к включению в портфель (в результате портфельного анализа из 15 видов акций для включения в портфель остаются следующие акции: ЛУКОЙЛ, НОРНИКЕЛЬ, СБЕРБАНК, УРАЛКАЛИЙ, АЭРОФЛОТ, БАНК МОСКВЫ).
10) Построить портфель Марковица в случае запрета и отсутствия запрета для выбранных акций
Сигма rp |
rp |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
Здесь rp-доходность портфеля; сигма – средне-квадратичное отклонение доходности; s1-s6- наименование эмитента; x1-x6-уд вес акции в портфеле