Свойства вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.2.
Пространство элементарных событий
определяется следующими парами (M,M),
(D,D),
(M,D),
(D,M);
A={в
семье есть девочка}, В={в
семье две девочки}, B|A={в
семье две девочки, если известно, что
уже есть девочки};
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
2.12.
.
2.13.
.
2.14.
.
2.15.
A={наудачу
взятый кинескоп имеет диагональ 72 см};
{наудачу
взятый кинескоп имеет диагональ 51 см};
В={кинескоп
отправляется на экспорт}; AВ={наудачу
взятый кинескоп имеет диагональ 72 см и
отправляется на экспорт};
{наудачу
взятый кинескоп имеет диагональ 51 см и
отправляется на экспорт}.
;
,
.
2.16.
.
2.17.
а)
;
б)
.
2.18.
.
2.19.
.
2.20.
.
2.21.
;
;
;
;
.
2.22.
а)
;
б)
.
2.23.
.
2.24.
.
2.25.
.
2.26.
а)
;
б)
.
2.27.
б)
;
в)
.
2.28.
а)
;
б)
.
2.29.
Могут существовать 0, 1, 2, 3, 4 фирмы
соответственно с вероятностями
.
{к
концу второго промежутка времени все
фирмы ликвидированы};
{фирма
ликвидировалась к концу первого
промежутка времени};
{фирма
работает с прибылью к концу первого
промежутка времени};
{фирма
разделилась на две к концу первого
промежутка времени};
{фирма,
работавшая в первом промежутке времени,
разорилась},
{фирма,
отделившаяся в первом промежутке
времени, разорилась},
.
Тогда
;
и т.д. 2.31.
.
2.32.
.
2.33.
.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса (теорема гипотез)
3.2.
{случайно
выбранный из партии транзистор будет
признан дефектным};
{транзистор
является дефектным};
{транзистор
является исправным}.
.
3.3.
3.4.
{вторая
игра будет проводиться новыми мячами};
{в
первой игре были использованы новые
мячи};
{в
первой игре были использованы старые
мячи};
{в
первой игре
был использован один старый и один новый
мяч}.
3.5.
{студент
сдает экзамен};
{студент
знает билет};
{студент
не знает билет};
{вызван
Иванов или Петров};
{вызван
Сидоров};
{вызван
отличник};
;
;
.
;
;
.
3.6.
3.7.
{100
микросхем исправны};
{i
микросхем
бракованные},
.
{микросхемы
признаны исправными, при условии, что
среди 1000 имеются i
бракованных},
.
;
;
;
.
.
3.8.
{все
100 лампочек исправны};
{число
лампочек содержащих брак равно i},
.
,
.
3.9.
.
3.10.
.
3.12.
.
3.14.
.
3.15.
{обнаружение
самолета};
{самолет
находится в i-том
районе}, i=1,
2;
;
.
Допустим,
что в первый район поисков отправлено
m
вертолетов,
тогда во второй будет отправлено
вертолетов.
{самолет
обнаружен, если он находится в i-том
районе},
;
,
.
.
Нужно определить m
так, чтобы вероятность
была наибольшей. Вычислим производную:
.
Полагая
,
приходим к равенству:
или
,
В первый район нужно направить 4 вертолета.
.
3.17.
.
3.18.
.
3.19.
.
3.20.
.
3.21.
.
3.22.
.
3.23.
.
3.24.
{взятая
наудачу пара обуви доброкачественная};
{выбрана
партия с доброкачественной обувью};
{выбрана
партия с недоброкачественной обувью}.
.
;
.
Тогда по формуле полной вероятности
.
После первого испытания вероятность
того, что партия содержит недоброкачественную
обувь, равна
.
Вероятность того, что партия содержит
доброкачественную обувь, равна
.
Введем событие
{при
втором испытании пара обуви окажется
недоброкачественной}. Но вероятности
гипотез
и
найдены ранее и они равны
;
.
Кроме того
;
.
Тогда
.
3.25.
.
3.26.
.
3.29.
.
3.30.
.