Случайные величины

Пусть (Ω, F, Р) – произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной Х называется измеримая функция , отображающая Ω в множество действительных чисел R, и такая, что при любом множество тех , для которых , принадлежит -алгебре событий данного эксперимента (множества { } – это события).

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительного переменного х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х:

.

Функция распределения имеет следующие свойства:

1.

2. F(x) – неубывающая функция.

3.

4. F(x) – непрерывна слева, т.е.

Для любых х₁ и х₂ вероятность неравенства вычисляется по формуле:

.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

4. Дискретные случайные величины

Случайная величина, обозначаемая Х, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество Ω_х – конечное, либо счетное.

Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х_i, р_i), где х_i – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Закон распределения дискретной случайной величины задают, как правило, в виде ряда распределения:

xi	х1	x2	…	xi	…
pi	p1	p2	…	pi	…

Графическое изображение ряда распределения называют многоугольником, т.е. многоугольник распределения – это ломаная линия, соединяющая точки (х_i; p_i), i=1,2,….

Р ис.4.1

Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения:

(4.1)

где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых x_i<x.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:

(4.2)

Модой дискретной случайной величины, обозначаемой М_о, называется ее наиболее вероятное значение:

(4.3)

Медианой случайной величины Х называется такое ее значение М_е, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше М_е, т.е. Р(Х < М_е) = Р(Х > М_е).

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: D(Х) = М(Х - М(Х))².

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

или . (4.4)

Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

(4.5)

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины, т.е. а_k(Х)=М(Х^k).

Для дискретной случайной величины

. (4.6)

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени отклонения Х–М(Х), т.е. µ_k=М(Х–М(Х))^k.

Для дискретной случайной величины

. (4.7)

Задачи

1. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,02. Контролер наудачу извлекает из партии изделия и проверяет их качество. Партия задерживается, если проверяемое изделие является бракованным. Если изделие стандартное, то проверяется следующее и т.д., но всего проверяется не более 5 изделий. Построить закон распределения случайной величины Х – числа проверяемых изделий; многоугольник распределения. Вычислить функцию распределения, моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина Х – число проверяемых изделий – это дискретная случайная величина. Ее множество значений Ω_х={1;2;3;4;5} – конечное множество. Случайная величина Х примет значение х₁=1, если первое проверенное контролером изделие окажется бракованным. Вероятность такого исхода равна 0,02, т.е. Р(Х=1)=0,02. Если первое изделие стандартно, то проверяется второе изделие и если оно содержит брак, то партия задерживается и, значит, случайная величина Х может принять значение равное 2, т.е. Х=2. Вероятность исхода равна произведению вероятности того, что первое изделие является стандартным на вероятность того, что второе изделие является бракованным: Р(Х=2)=0,980,02=0,0196 (0,98=1–0,02).

Контролер проверяет три изделия, если первые два окажутся стандартными, а третье – бракованное. По теореме умножения вероятностей, вероятность такого исхода равна: Р(Х=3)=0,980,980,020,0192. Аналогично, Р(Х=4)=0,98³0,020,0188.

Пять изделий проверяются всегда, но при этом может оказаться, что пятое изделие стандартно или это пятое изделие содержит брак. Вероятность такого исхода по теореме сложения будет равна:

Р(Х=5)=0,98⁴0,98+0,98⁴0,02=0,98⁴(0,98+0,02)=0,98⁴0,9224.

Итак, закон распределения рассматриваемой случайной величины Х можно представить в следующем виде:

Таблица 4.1

xi	1	2	3	4	5
pi	0,02	0,0196	0,0192	0,0188	0,9224

Сумма вероятностей равна единице:

.

Значит, данная таблица задает закон распределения дискретной случайной величины.

Для построения многоугольника распределения на оси абсцисс откладываются значения случайной величины Х, и из каждой точки х_i восстанавливаются перпендикуляры высотой р_i, полученные точки (х_i, р_i) соединяем отрезками прямой и получаем ломаную линию, которая и является многоугольником распределения (рис.4.2).

Вычислим функцию распределения по формуле (4.1):

График функции распределения представлен на рис.4.3.

Р ис.4.2

Р ис.4.3

Из табл.4.1 следует, что наиболее вероятное значение дискретной случайной величины равно 0,9224. Поэтому .

Медианы данное распределение не имеет.

Математическое ожидание вычислим по формуле (4.2):

М(Х) = 1∙0,02 + 2∙0,0196 + 3∙0,0192 + 4∙0,0188 + 5∙0,9224 = 4,804.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (4.4):

Среднее квадратическое отклонение равно:

2. В течение года некоторая фирма трижды обращается за кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для фирмы равна 0,8. Случайная величина Х – число кредитов фирмы за год. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), σ(X). Построить многоугольник и график функции распределения.

3. Приборы испытываются на надежность. Вероятности для каждого прибора пройти испытание равны 0,8 и независимы. Испытания заканчиваются после первого прибора, не выдержавшего испытания, при этом проверяется не более 5 приборов. Описать закон распределения случайной величины Х – числа испытанных приборов; построить многоугольник распределения; вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), σ(X). Построить график функции распределения.

4. Независимые испытания радиоаппаратуры проводятся до тех пор, пока не произойдет отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

5. На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля. Построить закон распределения, многоугольник распределения случайной величины Х характеризующей число светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Вычислить числовые характеристики М(Х) и D(Х); функцию распределения.

6. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины X – числа дефектных изделий.

7. Продавец мороженого в солнечный день может заработать 100 ден. единиц, а в дождливый – 30 ден. ед. Чему равна ожидаемая дневная выручка, если вероятность того, что день окажется дождливым, равна 0,35?

8. В ящике 20 деталей, среди которых 4 имеют скрытый дефект. Из этого ящика наудачу извлекают 3 детали. Описать закон распределения случайной величины Х – число деталей, не имеющих скрытого дефекта среди извлеченных, построить многоугольник распределения. Вычислить функцию распределения и числовые характеристики – моду, медиану, М(Х), D(X), σ(X). Построить график функции распределения.

9. Прибор состоит из четырех независимо работающих блоков Б₁, Б₂, Б₃ и Б₄, каждый из которых выходит из строя с вероятностями р₁=0,4, р₂=р₃=р₄=0,2 соответственно. Прибор выходит из строя как при отказе блока Б₁, так и при одновременном отказе блоков Б₁, Б₂ и Б₃. Вычислить:

1. функцию распределения случайной величины Х – число испытаний, при которых прибор выйдет из строя, и построить ее график;

2. числовые характеристики случайной величины Х – М(Х), D(X), σ(X).

10. Исследуются одни торги на бирже, при которых изучается повышение курса акций двух компаний. Вероятность повышения курса акций для одной компании равна р₁, для второй р₂. Пусть случайная величина Х – суммарное число повышений акций, изучаемых компанией на данных торгах. Найти М(Х), D(X), σ(X).

11. В лотерее, в которой выпущено 100 билетов, разыгрывается мотоцикл, стоимостью 250 ден. ед., 2 велосипеда, стоимостью 70 ден. ед. и четверо часов, стоимостью 40 ден. ед. Некто покупает один лотерейный билет. Описать закон распределения случайной величины Х – величины выигрыша. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение выигрыша.

12. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Описать закон распределения случайной величины Х, характеризующей число попыток открыть замок каждым ключом при условии, что опробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти функцию распределения. Вычислить математическое ожидание М(Х) и Дисперсию D(X).

13. В республике действуют 1000 банков. Из них 150 с государственной формой собственности. Налоговая инспекция проверила 100 банков. Какова вероятность того, что среди них нет с государственной формой собственности? Хотя бы один с негосударственной формой собственности? Найти среднее число банков с государственной формой собственности среди 100 проверенных и его вероятность. Вычислить среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – число банков с государственной формой собственности среди 100 проверенных.

14. Иванов держит пари о появлении (или не появлении) события А, шанс наблюдения которого равен 25%. Иванов платит 1 ден. ед. в случае, если событие А появится и получает 2 ден. ед., если оно не появится. Найти ожидаемый выигрыш Иванова.

15. В партии из 12 деталей имеется 10 стандартных. Из этой партии наудачу взяты 2 детали. Описать закон распределения случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных; вычислить функцию распределения, М(Х), D(X), σ(X) и построить график F(x).