4.2.3. Казначейские векселя.

Казначейский вексель - общий термин для обозначения государственных краткосрочных ценных бумаг со сроком обращения обычно 90 дней, но казначейские векселя могут также иметь сроки как от одного месяца, так и до одного года. Обычно рынок казначейских векселей высоколиквиден, а их эмиссия происходит довольно часто, как правило, еже­недельно (в США).

Казначейские векселя выпускаются по дисконтированной стоимости, а погашаются по номиналу, таким образом, дисконт представляет собой доход инвестора. На наличном рынке каз­начейских векселей их котировка происходит в форме ставок дисконтирования, а не в форме цены. Типичным котиро­вочным предложением может быть 7.0-6.9, что означает жела­ние трейдера покупать вексель по дисконтной ставке 7% годовых, а продавать - по 6.9% годовых.

Доходность казначейского векселя (y) находится при известном дисконте следующим образом:

(3.34)

при допущении АСТ/365 метода. При вычислении доходности казначейского векселя важно обратить внимание на общий срок его обращения и соответствующий метод подсчета дней, о чем говорилось выше.

4.2.2. Обыкновенные акции.

Один из методов оценки обыкновенных акций состоит в расчете текущей стоимости всех ожидаемых будущих дивидендов, т.е. расчете по так называемой модели дисконтирования дивидендов. Хотя стоимость акций обычно рассматривается как функ­ция ожидаемых будущих доходов, модель дисконтирования ди­видендов расценивает дивиденды как показатель доходов, и та­ким образом учитывает будущие доходы. Это допущение приемлемо при условии, что фирма может либо выплатить при­быль в качестве дивидендов, либо реинвестировать ее в произ­водство. В случае реинвестирования и одновременного приня­тия политики по увеличению дивидендов будущие дивиденды по величине будут больше текущих. Дивиденды будут расти до тех пор, пока часть прибыли направляется на развитие бизнеса. Теоретическая цена обыкновенной акции может быть выраже­на в следующем виде:

(4.34),

где - дивиденды, выплачиваемые в конце периода i; - темп роста дивидендов.

Таким образом, текущая цена - это текущая стоимость всех будущих дивидендов. Будущая величина дивидендов находится наращением суммы дивидендов, выплачиваемых в конце теку­щего периода, в соответствии с последующими ожидаемыми темпами роста дивидендов. Например, дивиденды, выплачи­ваемые в конце третьего периода, находятся как ожидаемые ди­виденды в конце первого периода, наращенные за один период исходя из темпов роста затем наращенные для третьего пе­риода исходя из темпов роста .

Рост прибыли и соответственно дивидендов зависит от того, имеются ли в распоряжении у фирмы финансовые средства для осуществления инвестиций, а также от того, существует ли во­обще возможность для инвестиций. При внешнем финансирова­нии рост будет усилен посредством доходов, получаемых за счет внешнего финансирования проектов. Так как акции являются бессрочными, расчет по вышеприведенной модели трудно выполним, потому что требуется осущест­вить прогноз значений переменных вплоть до бесконечности.

4.3. Математические приложения.

4.3.1. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Под случайным событием в теории вероятностей понимается неоднократное появление такого события, которое нельзя с полной определенностью предугадать каждый раз.

Классическая схема теории вероятностей охватывает те опыты, элементарные исходы которых удовлетворяют следующим условиям:

1. элементарных исходов – конечное множество;

2. элементарные исходы образуют полную группу попарно несовместных случайных событий, т.е. это означает, что каждый опыт дает в результате один и только один из N элементарных исходов;

3. элементарные исходы равновозможны.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти:

Р(U) = 1 (4.35).

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти:

Р(V) = 0 (4.36).

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Если несколько событий:

• образуют полную группу;

• несовместны;

• равновозможны,

то они называются случайными.

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события. Если результаты опытов сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется по формуле:

(4.37),

где n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию А.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (4.38).

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В) (4.39).

Если события А , А , …, А несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( ) = 1 (4.40).

В число случайных событий включают и событие , которое наблюдается в результате опыта всегда, а также событие Ǿ, которое не наблюдается в результате опыта никогда. Следовательно,

А + = , А * = Ǿ

При этом называется достоверным событием, а Ǿ - невозможным событием. Очевидно, что Р( ) = 1, а Р(Ǿ) = 0. События А и В называются несовместными, если они не могут наступить в одном и том же опыте, т.е. АВ = Ǿ.

Если случайные события , , …, попарно несовместны, то

.

Для произвольных же слагаемых:

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А/В).

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий:

Р(А/В) = Р(А); Р(В/А) = Р(В) (4.41).